📌 Đề bài:
Tìm tập giá trị $T$ của hàm số lượng giác $y = 3\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) – 1$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Hàm số $y = \sin u(x)$ và $y = \cos u(x)$ luôn có tập giá trị xác định bởi tính chất bị chặn cơ bản:
$$-1 \le \sin u(x) \le 1 \quad \text{và} \quad -1 \le \cos u(x) \le 1, \quad \forall u(x) \in \mathbb{R}.$$Khi nghiên cứu các chuyên đề đại số giải tích, sau bước tìm tập xác định của hàm số, việc tìm tập giá trị giúp học sinh làm chủ bài toán cực trị và min – max.
- Bước 1: Đánh giá giá trị biểu thức góc và hàm cơ bản: $-1 \le \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
- Bước 2: Vận dụng các phép biến đổi bất đẳng thức (nhân với hằng số dương/âm, cộng/trừ hằng số) để xây dựng dần hàm số $y$. Khác với các bài toán lượng giác có phân thức như bài toán điều kiện xác định của hàm số lượng giác phức tạp, hàm số bậc nhất theo sin xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
- Bước 3: Chỉ ra các giá trị $x$ cụ thể để dấu đẳng thức xảy ra, từ đó kết luận tập giá trị $T = [y_{\min}; y_{\max}]$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
Hàm số $y = 3\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) – 1$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$.
Bước 2: Đánh giá giới hạn của biểu thức hàm số.
Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có:
$$-1 \le \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) \le 1$$
Nhân cả ba vế với $3 > 0$:
$$-3 \le 3\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) \le 3$$
Trừ cả ba vế cho $1$:
$$-3 – 1 \le 3\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) – 1 \le 3 – 1 \iff -4 \le y \le 2.$$
Bước 3: Kiểm tra dấu bằng xảy ra.
- $y = 2 \iff \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = 1 \iff 2x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \iff x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$.
- $y = -4 \iff \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = -1 \iff 2x – \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \iff x = -\frac{\pi}{8} + k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$.
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-4$ và giá trị lớn nhất là $2$.
Vì hàm số $y$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên tập giá trị của hàm số là $T = [-4; 2]$.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án A ($T = [-4; 2]$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tìm tập giá trị của hàm số $y = -2\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) + 5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Nhân với $-2$, bất đẳng thức đổi chiều: $2 \ge -2\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \ge -2$, tức là $-2 \le -2\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \le 2$.
Cộng thêm 5: $3 \le y \le 7$. Dấu bằng đều xảy ra tương ứng tại các điểm nghiệm lượng giác.
Đáp số: Tập giá trị $T = [3; 7]$.
Bài tập 2: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 4\sin^2 x – 3$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Nhân với 4: $0 \le 4\sin^2 x \le 4$.
Trừ 3: $-3 \le 4\sin^2 x – 3 \le 1 \iff -3 \le y \le 1$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [-3; 1]$.
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{2\cos\left(x – \frac{\pi}{6}\right) + 7}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$\Rightarrow -2 \le 2\cos\left(x – \frac{\pi}{6}\right) \le 2 \iff 5 \le 2\cos\left(x – \frac{\pi}{6}\right) + 7 \le 9$.
Lấy căn bậc hai hai vế: $\sqrt{5} \le y \le 3$.
Đáp số: $\min y = \sqrt{5}$, $\max y = 3$. Tập giá trị là $T = [\sqrt{5}; 3]$.
Bài tập 4: Tìm tập giá trị của hàm số $y = 1 – 3|\sin 2x|$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Nhân với $-3$: $0 \ge -3|\sin 2x| \ge -3 \iff -3 \le -3|\sin 2x| \le 0$.
Cộng thêm 1: $-2 \le 1 – 3|\sin 2x| \le 1 \iff -2 \le y \le 1$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [-2; 1]$.
Bài tập 5: Tìm tập giá trị của hàm số $y = \frac{6}{2 + \cos 4x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Lấy nghịch đảo các số dương: $\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 + \cos 4x} \le 1$.
Nhân với 6: $2 \le \frac{6}{2 + \cos 4x} \le 6 \iff 2 \le y \le 6$.
Đáp số: Tập giá trị $T = [2; 6]$.
Để lại phản hồi