📌 Đề bài:
Tìm tập xác định $D$ của hàm số lượng giác $y = \dfrac{\tan x + 2}{\cos 2x + \cos 4x}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán tìm tập xác định lượng giác dạng phân thức kết hợp hàm số $\tan x$, ta cần thực hiện các bước sau:
- Điều kiện tồn tại của $\tan x$: $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi và chỉ khi $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- Điều kiện mẫu thức khác $0$: $\cos 2x + \cos 4x \neq 0$.
- Công thức biến đổi tổng thành tích:
$$\cos a + \cos b = 2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$$
Áp dụng với $a = 4x, b = 2x$: $\cos 4x + \cos 2x = 2\cos 3x \cos x$. - Kỹ năng gộp nghiệm trên đường tròn lượng giác: Kiểm tra xem họ nghiệm của $\cos x = 0$ có bị chứa trong họ nghiệm của $\cos 3x = 0$ hay không để đưa ra kết quả tối giản nhất.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Hàm số $y = \dfrac{\tan x + 2}{\cos 2x + \cos 4x}$ xác định khi và chỉ khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:
$$\begin{cases} \tan x \text{ có nghĩa} \\ \cos 2x + \cos 4x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \cos 4x + \cos 2x \neq 0 \end{cases}$$
Biến đổi tổng thành tích ở mẫu số:
$$\cos 4x + \cos 2x = 2\cos\left(\dfrac{4x + 2x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{4x – 2x}{2}\right) = 2\cos 3x \cos x$$
Do đó, hệ điều kiện trở thành:
$$\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ 2\cos 3x \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \cos 3x \neq 0 \end{cases}$$
Giải từng điều kiện:
- $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + m\pi \quad (m \in \mathbb{Z})$.
- $\cos 3x \neq 0 \Leftrightarrow 3x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$.
Nhận xét về quan hệ giữa hai họ nghiệm:
Xét họ nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$ với $k \in \mathbb{Z}$:
- Khi $k = 3m$: $x = \dfrac{\pi}{6} +
Để lại phản hồi