📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin 4x – \sin 2x}{1 – \cos 2x + \cos 4x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán rút gọn có chứa các góc bội số như $4x$ và $2x$, ta áp dụng linh hoạt công thức nhân đôi lượng giác để đưa về cùng một cung góc $2x$ và tạo nhân tử chung:
- Công thức nhân đôi cho $\sin$: $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.
- Công thức nhân đôi cho $\cos$: $\cos 4x = 2\cos^2 2x – 1$.
- Nhóm nhân tử chung ở tử và mẫu rồi triệt tiêu lượng chung $2\cos 2x – 1$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Biến đổi biểu thức ở tử số
Áp dụng công thức góc nhân đôi $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$, ta có:
$$\text{Tử số} = \sin 4x – \sin 2x = 2\sin 2x \cos 2x – \sin 2x = \sin 2x (2\cos 2x – 1)$$
Bước 2: Biến đổi biểu thức ở mẫu số
Áp dụng công thức góc nhân đôi $\cos 4x = 2\cos^2 2x – 1$, ta có:
$$\text{Mẫu số} = 1 – \cos 2x + \cos 4x = 1 – \cos 2x + (2\cos^2 2x – 1) = 2\cos^2 2x – \cos 2x = \cos 2x (2\cos 2x – 1)$$
Bước 3: Rút gọn phân thức
Thay tử và mẫu vừa biến đổi vào biểu thức ban đầu:
$$P = \frac{\sin 2x (2\cos 2x – 1)}{\cos 2x (2\cos 2x – 1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$$
Kỹ năng phân tích nhân tử này tương tự như khi xử lý các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác cơ bản.
👉 Kết luận: $P = \tan 2x$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức lượng giác $A = \frac{\sin 4x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \cos 4x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tử số: $\sin 4x + \sin 2x = 2\sin 2x \cos 2x + \sin 2x = \sin 2x(2\cos 2x + 1)$.
Mẫu số: $1 + \cos 2x + \cos 4x = 1 + \cos 2x + 2\cos^2 2x – 1 = \cos 2x(2\cos 2x + 1)$.
Do đó: $A = \frac{\sin 2x(2\cos 2x + 1)}{\cos 2x(2\cos 2x + 1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$.
Đáp số: $A = \tan 2x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức lượng giác $B = \frac{\sin 3x}{\sin x} – \frac{\cos 3x}{\cos x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Quy đồng mẫu số:
$$B = \frac{\sin 3x \cos x – \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin(3x – x)}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2$$
Đáp số: $B = 2$.
Bài tập 3: Cho góc $x$ thỏa mãn $\cos x = \frac{1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $C = \frac{\sin 4x}{\sin x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng công thức nhân đôi liên tiếp:
$$C = \frac{2\sin 2x \cos 2x}{\sin x} = \frac{4\sin x \cos x \cos 2x}{\sin x} = 4\cos x \cos 2x$$
Vì $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 – 1 = \frac{2}{9} – 1 = -\frac{7}{9}$, nên:
$$C = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{7}{9}\right) = -\frac{28}{27}$$
Đáp số: $C = -\frac{28}{27}$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức lượng giác $D = \frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} \cdot \cot x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Biến đổi tử và mẫu:
Tử số: $1 – \cos 2x + \sin 2x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)$.
Mẫu số: $1 + \cos 2x + \sin 2x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)$.
Do đó: $\frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x} = \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\sin x + \cos x)} = \tan x$.
Vậy $D = \tan x \cdot \cot x = 1$.
Đáp số: $D = 1$.
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức $E = \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{4}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đây là dạng toán quen thuộc của kỹ thuật nhân đôi liên tiếp (tham khảo thêm bài toán tính giá trị biểu thức lượng giác):
$$E = \left(\sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16}\right) \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{4}$$
$$E = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$$
Đáp số: $E = \frac{1}{8}$.
Để lại phản hồi