📌 Đề bài:
Tính giá trị đúng của biểu thức lượng giác tích các cosin sau: $$P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Dạng bài toán tính tích dãy số cosin có các góc nhân đôi liên tiếp ($\alpha, 2\alpha, 4\alpha, \dots, 2^{n-1}\alpha$) là dạng toán kinh điển áp dụng công thức nhân đôi lượng giác:
- Công thức nhân đôi sin: $\sin 2x = 2\sin x \cos x \implies \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$.
- Mối liên hệ giữa các góc hơn kém $\pi$: $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
- Phương pháp: Nhân cả hai vế của biểu thức với $\sin \alpha$ (với $\alpha = \frac{\pi}{7} \ne k\pi$ nên $\sin \frac{\pi}{7} \ne 0$) rồi liên tiếp thu gọn theo công thức nhân đôi.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Nhận thấy các góc trong tích là $\frac{\pi}{7}, \frac{2\pi}{7}, \frac{4\pi}{7}$ tạo thành cấp số nhân với công bội bằng $2$.
Vì $\frac{\pi}{7} \in (0; \pi)$ nên $\sin \frac{\pi}{7} \ne 0$. Nhân cả hai vế của biểu thức $P$ với $\sin \frac{\pi}{7}$, ta được:
$$P \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \left( \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$$
Áp dụng công thức $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, ta lần lượt biến đổi:
$$P \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$$
$$P \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$$
$$P \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \frac{1}{8} \sin \frac{8\pi}{7}$$
Mặt khác, ta có mối liên hệ:
$$\sin \frac{8\pi}{7} = \sin\left( \pi + \frac{\pi}{7} \right) = -\sin \frac{\pi}{7}$$
Thay vào đẳng thức trên:
$$P \cdot \sin \frac{\pi}{7} = -\frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{7}$$
Do $\sin \frac{\pi}{7} \ne 0$, chia cả hai vế cho $\sin \frac{\pi}{7}$ ta được:
$$P = -\frac{1}{8}$$
👉 Kết luận: Chọn đáp án B. ($P = -\frac{1}{8}$)
Kỹ thuật nhân thêm nhân tử $\sin \alpha$ giúp việc rút gọn biểu thức lượng giác trở nên nhanh chóng và đẹp mắt. Dưới đây là 5 bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng biến đổi này.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
$$A \sin \frac{\pi}{9} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = \frac{1}{8} \sin \frac{8\pi}{9}$$
Vì $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{9}\right) = \sin \frac{\pi}{9}$, nên $A \sin \frac{\pi}{9} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{9} \implies A = \frac{1}{8}$.
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức $B = \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$$B \sin \frac{\pi}{5} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{5}$$
Vì $\sin \frac{4\pi}{5} = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{5}\right) = \sin \frac{\pi}{5}$, nên $B = \frac{1}{4}$.
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $C = \sin 6^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
$$C \cos 6^\circ = (\sin 6^\circ \cos 6^\circ) \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{2} \sin 12^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ$$
$$= \frac{1}{4} \sin 24^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{8} \sin 48^\circ \cos 48^\circ = \frac{1}{16} \sin 96^\circ$$
Vì $\sin 96^\circ = \sin(90^\circ + 6^\circ) = \cos 6^\circ$, nên $C \cos 6^\circ = \frac{1}{16} \cos 6^\circ \implies C = \frac{1}{16}$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
$$D \sin \frac{\pi}{15} = \frac{1}{16} \sin \frac{16\pi}{15}$$
Ta có $\sin \frac{16\pi}{15} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{15}\right) = -\sin \frac{\pi}{15}$. Do đó, $D = -\frac{1}{16}$.
Bài tập 5: Tính giá trị biểu thức $E = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
$$E \sin 20^\circ = \frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} \sin 160^\circ$$
Vì $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ – 20^\circ) = \sin 20^\circ$, suy ra $E = \frac{1}{8}$.
Để lại phản hồi