Một trường đại học trao hai loại học bổng A và B cho sinh viên trong trường, một sinh viên có thể được nhận cả hai loại học bổng A và B.

Giải:

Gọi $A_1$ là biến cố sản phẩm do dây chuyền I sản xuất, $A_2$ là biến cố sản phẩm do dây chuyền II sản xuất.

Gọi $F$ là biến cố sản phẩm chọn ra là phế phẩm.

Ta có: $P(A_1) = 0,60$; $P(A_2) = 0,40$; $P(F|A_1) = 0,02$; $P(F|A_2) = 0,05$.

a) Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(F) = P(A_1) \cdot P(F|A_1) + P(A_2) \cdot P(F|A_2) = 0,60 \cdot 0,02 + 0,40 \cdot 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032$$

b) Tính xác suất $P(A_2|F)$ bằng công thức Bayes:

$$P(A_2|F) = \frac{P(A_2) \cdot P(F|A_2)}{P(F)} = \frac{0,40 \cdot 0,05}{0,032} = \frac{0,02}{0,032} = 0,625$$

Giải:

Gọi $D$ là biến cố người đó mắc bệnh X, suy ra $P(D) = 0,01$ và $P(\overline{D}) = 0,99$.

Gọi $T^+$ là biến cố xét nghiệm có kết quả dương tính.

Ta có $P(T^+|D) = 0,95$ và $P(T^+|\overline{D}) = 0,02$.

a) Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(T^+) = P(D) \cdot P(T^+|D) + P(\overline{D}) \cdot P(T^+|\overline{D}) = 0,01 \cdot 0,95 + 0,99 \cdot 0,02 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293$$

b) Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh biết kết quả dương tính $P(D|T^+)$:

$$P(D|T^+) = \frac{P(D) \cdot P(T^+|D)}{P(T^+)} = \frac{0,01 \cdot 0,95}{0,0293} = \frac{0,0095}{0,0293} \approx 0,3242 \text{ (hoặc } 32,42\%\text{)}$$

Giải:

Gọi $T$ là biến cố học sinh tham gia CLB Thể thao $\Rightarrow P(T) = 0,70; P(\overline{T}) = 0,30$.

Gọi $G$ là biến cố học sinh đạt học lực Giỏi $\Rightarrow P(G|T) = 0,80; P(G|\overline{T}) = 0,50$.

a) Xác suất chọn được học sinh đạt học lực Giỏi:

$$P(G) = P(T) \cdot P(G|T) + P(\overline{T}) \cdot P(G|\overline{T}) = 0,70 \cdot 0,80 + 0,30 \cdot 0,50 = 0,56 + 0,15 = 0,71$$

Xác suất học sinh đó không đạt học lực Giỏi là:

$$P(\overline{G}) = 1 – P(G) = 1 – 0,71 = 0,29$$

b) Xác suất học sinh tham gia CLB Thể thao biết rằng đạt học lực Giỏi:

$$P(T|G) = \frac{P(T) \cdot P(G|T)}{P(G)} = \frac{0,70 \cdot 0,80}{0,71} = \frac{0,56}{0,71} \approx 0,7887$$

Giải:

Gọi $M$ là biến cố chọn thí sinh nam, $W$ là biến cố chọn thí sinh nữ ($P(M) = 0,4; P(W) = 0,6$).

Gọi $P$ là biến cố thi đỗ. Ta có $P(P|M) = 0,75 \Rightarrow P(\overline{P}|M) = 0,25$.

Tương tự $P(P|W) = 0,85 \Rightarrow P(\overline{P}|W) = 0,15$.

a) Xác suất thí sinh thi trượt $P(\overline{P})$ là:

$$P(\overline{P}) = P(M) \cdot P(\overline{P}|M) + P(W) \cdot P(\overline{P}|W) = 0,4 \cdot 0,25 + 0,6 \cdot 0,15 = 0,10 + 0,09 = 0,19$$

b) Xác suất thí sinh đó là nam biết rằng thi trượt:

$$P(M|\overline{P}) = \frac{P(M) \cdot P(\overline{P}|M)}{P(\overline{P})} = \frac{0,4 \cdot 0,25}{0,19} = \frac{0,10}{0,19} \approx 0,5263$$

Giải:

Theo đề bài: $P(A) = 0,80 \Rightarrow P(\overline{A}) = 0,20$.

$P(B|A) = 0,90 \Rightarrow P(\overline{B}|A) = 0,10$.

$P(B|\overline{A}) = 0,30 \Rightarrow P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,70$.

a) Xác suất khách hàng không sở hữu bất động sản $P(\overline{B})$:

$$P(\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}|A) + P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,80 \cdot 0,10 + 0,20 \cdot 0,70 = 0,08 + 0,14 = 0,22$$

b) Xác suất khách hàng trả nợ không đúng hạn biết khách hàng không sở hữu bất động sản:

$$P(\overline{A}|\overline{B}) = \frac{P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A})}{P(\overline{B})} = \frac{0,20 \cdot 0,70}{0,22} = \frac{0,14}{0,22} \approx 0,6364$$