[Bayes] Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có $17$ kẹo màu vàng, còn lại là kẹo màu đỏ, bạn Dũng lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại

Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có $17$ kẹo màu vàng, còn lại là kẹo màu đỏ, bạn Dũng lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó bạn Dũng lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất để bạn Dũng lấy được cả hai cái kẹo màu vàng bằng $\dfrac{136}{465}$. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Đáp án: 31

Lời giải: Xét các biến cố:
$A$: “Lần thứ nhất bạn Dũng lấy được kẹo màu vàng”
$B$: “Lần thứ hai bạn Dũng lấy được kẹo màu vàng”;
Gọi số kẹo ban đầu trong túi là $n$ $(n \in \mathbb{N}, n{>}17)$ ta có
Theo bài ta có:
$\mathrm{P}(A)=\dfrac{17}{n}$; $\mathrm{P}(B|A)=\dfrac{16}{n-1}$
Suy ra xác suất để cả hai lần lấy được kẹo màu vàng là:
$\mathrm{P}(AB)=\mathrm{P}(A)\cdot \mathrm{P}(B|A)=\dfrac{17}{n}\cdot\dfrac{16}{n-1}=\dfrac{272}{n(n-1)}$.
Theo bài ta có:
$\mathrm{P}(AB)=\dfrac{136}{465}\Leftrightarrow \dfrac{272}{n(n-1)}=\dfrac{136}{465}\Leftrightarrow \dfrac{136 n^{2}}{465} – \dfrac{136 n}{465} – 272=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=31 \text{(Thoả mãn)}\\ x=-30 \text{(Loại)}\end{array}\right.$.
Vậy ban đầu trong túi có $31$ cái kẹo.