[Bayes] Trong một kho rượu số lượng rượu loại $A$ và rượu loại $B$ bằng nhau

Trong một kho rượu số lượng rượu loại $A$ và rượu loại $B$ bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai rượu trong kho và đưa cho $5$ người sành rượu nếm thử để xác định xem đây là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có xác suất đoán đúng là $75\%$. Có $4$ người kết luận chai rượu loại $A$ và $1$ người kết luận chai rượu loại $B$. Hỏi khi đó xác suất để chai rượu được chọn thuộc loại $A$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 0,96

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố ” Chai rượu thuộc loại $A$”.
$B$ là biến cố ” Chai rượu thuộc loại $B$”.
$H$ là biến cố ” Có $4$ người kết luận rượu loại $A$, $1$ người kết luận rượu loại $B$”.
Ta cần tính $\mathrm{P}(\mathrm{A}|H)$.
Áp dụng công thức Bayes $\mathrm{P}(A | H)=\dfrac{\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(H | A)}{\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(H | A)+\mathrm{P}(B) \mathrm{P}(H | B)}$.
Mà ta có $\mathrm{P}(A)=\mathrm{P}(B)=\dfrac{1}{2}$; $\mathrm{P}(H | A)=\mathrm{C}_5^4\left(\dfrac{3}{4}\right)^4 \dfrac{1}{4}$, $\mathrm{P}(H | B)=\mathrm{C}_5^4\left(\dfrac{1}{4}\right)^4 \cdot \dfrac{3}{4}$.
Thay vào ta thu được $\mathrm{P}(A | H)=\dfrac{27}{28} \approx 0{,}96$.