[Bayes] Một nghiên cứu đã chỉ ra rằng tỉ lệ người lao phổi trong nhóm $X$ những người mắc phải hội chứng suy giảm miễn dịch $H$ là $15{,}2 \%$

Một nghiên cứu đã chỉ ra rằng tỉ lệ người lao phổi trong nhóm $X$ những người mắc phải hội chứng suy giảm miễn dịch $H$ là $15{,}2 \%$. Kết quả nghiên cứu về một số triệu chứng lâm sàng như có ho trong vòng bốn tuần, hoặc có bị sốt trong vòng bốn tuần, hoặc ra mồ hôi ban đêm từ ba tuần trở lên của nhóm $X$ cho thấy trong số những người mắc bệnh lao phổi, có $93{,}2 \%$ trường hợp có ít nhất một triệu chứng; trong số những người không mắc bệnh lao phổi, có $35{,}8 \%$ trường hợp không có triệu chứng nào.

*a) Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân thuộc nhóm $X$, xác suất bệnh nhân bị lao phổi là $0{,}152$.

b) Gặp được bệnh nhân không mắc bệnh lao phổi, xác suất bệnh nhân đó có ít nhất một triệu chứng trên là $0{,}358$.

c) Có $70 \%$ bệnh nhân thuộc nhóm $X$ có ít nhất một triệu chứng trên (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

*d) Trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên, có $21 \%$ người mắc bệnh lao phổi (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:
(Đúng) Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân thuộc nhóm $X$, xác suất bệnh nhân bị lao phổi là $0{,}152$
(Vì): Xác suất bệnh nhân bị lao phổi là $\mathrm{P}\left(A\right)=0{,}152$.
(Sai) Gặp được bệnh nhân không mắc bệnh lao phổi, xác suất bệnh nhân đó có ít nhất một triệu chứng trên là $0{,}358$
(Vì): Ta có $\mathrm{P}\left(B\mid\overline{A}\right)=1-\mathrm{P}\left(\overline{B}\mid\overline{A}\right)=1-0{,}358=0{,}642$.
(Sai) Có $70 \%$ bệnh nhân thuộc nhóm $X$ có ít nhất một triệu chứng trên (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị)
(Vì): Theo công thức xác suất toàn phần, ta có
$\mathrm{P}\left(B\right)=\mathrm{P}\left(B\mid A\right)\cdot\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\mid\overline{A}\right)\cdot\mathrm{P}\left(\overline{A}\right)=0{,}932\cdot 0{,}152+0{,}642\cdot 0{,}848=0{,}68608\approx 0{,}69.$
Vậy có $69\%$ bệnh nhân thuộc nhóm $X$ có ít nhất một triệu chứng trên.
(Đúng) Trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên, có $21 \%$ người mắc bệnh lao phổi (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị)
(Vì): Theo công thức Bayes, ta có
$\mathrm{P}\left(A\mid B\right)=\dfrac{\mathrm{P}\left(B\mid A\right)\cdot\mathrm{P}\left(A\right)}{\mathrm{P}\left(B\right)}=\dfrac{0{,}932\cdot 0{,}152}{0{,}68608}\approx 0{,}21.$
Suy ra trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên, có $21\%$ người mắc bệnh lao phổi.