[Bayes] Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh $A$ ở một địa phương là $65\%$

Tỉ lệ người dân đã tiêm vắc xin phòng bệnh $A$ ở một địa phương là $65\%$. Trong số những người đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh $A$ là $5\%$ ; trong số những người chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh $A$ là $17\%$. Chọn ngẫu nhiên một người ở địa phương đó. Biết rằng người đó mắc bệnh $A$. Tính xác suất người đó không tiêm vắc xin phòng bệnh $A$.

Lời giải: Gọi $X$ là biến cố “Người dân được tiêm phòng bệnh $A$ ”
$Y$ là biến cố “Người dân mắc bệnh $A$ ”. Ta có: $P\left(X\right) = 0,65 ; P\left(\overline{X}\right) = 0,35$.
Tỉ lệ mắc bệnh khi tiêm phòng là: $P\left(Y|X\right) = 0,05$.
Tỉ lệ mắc bệnh khi chưa tiêm phòng là $P\left(Y|\overline{X}\right) = 0,17$.
Xác suất người này mắc bệnh $A$ là:
$P\left(Y\right) = P\left(X\right).P\left(Y|X\right)+ P\left(\overline{X}\right).P\left(Y|\overline{X}\right) = 0,65.0,05+ 0,35.0,17 = 0,092$
Xác suất để người bệnh không tiêm phòng là:
$P\left(\overline{X}|Y\right) = \dfrac{P\left(\overline{X}\right).P\left(Y|\overline{X}\right)}{P\left(Y\right)} = \dfrac{0,35.0,17}{0,092} = \dfrac{119}{184}$.