[Bayes] Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là $0,5$

Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại luôn tự nhận mình nói thật nhưng xác suất để mỗi chú này nói thật là $0,5$. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn. Gọi $A$ là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và $B$ là biến cố “Chú lùn đó tự nhận mình luôn nói thật”. Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.

Lời giải: Ta có trong 7 chú lùn thì có 4 chú lùn luôn nói thật, nên $P\left(A\right) = \dfrac{4}{7}\Rightarrow P\left(\widehat{A}\right) = \dfrac{3}{7}$
Vì 4 chú lùn luôn nói thật nên $P\left(B|A\right) = 1$.
3 chú lùn còn lại nói thật với xác suất là $0,5$ nên ta có: $P\left(B|\overline{A}\right) = 0,5$.
Do đó $P\left(B\right) = P\left(A\right)P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right) = \dfrac{4}{7}.1+ \dfrac{3}{7}.0,5 = \dfrac{11}{14}$.
Xác suất để chú lùn đó luôn nói thật là: $P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)} = \dfrac{\dfrac{4}{7}.1}{\dfrac{11}{14}} = \dfrac{8}{11}$.