[Bayes] Một loại linh kiện do hai nhà máy số I và số II cùng sản xuất

Một loại linh kiện do hai nhà máy số I và số II cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $80$ sản phẩm của nhà máy số I và 120 sản phẩm của nhà máy số II. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. Giả sử linh kiện được lấy ra là linh kiện phế phẩm. Xác suất linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao hơn?

Lời giải: Xét hai biến cố sau: $A$ : ‘‘Linh kiện lấy ra do nhà máy I sản xuất”,
$B$ : ‘‘Linh kiện lấy ra là phế phẩm”
Trong lô linh kiện có tổng cộng $80+ 120 = 200$ linh kiện nên $P\left(A\right) = \dfrac{80}{200} = 0,4$ ; $P\left(\overline{A}\right) = 0,6$.
Vì tỉ lệ phế phẩm của các nhà máy I và II lần lượt là $4\%$ và $3\%$ nên $P\left(B|A\right) = 4\% = 0,04$
Khi đó: $P\left(B|\overline{A}\right) = 3\% = 0,03$.
Ta có sơ đồ cây:

Khi linh kiện lấy ra là phế phẩm thì xác suất linh kiện đó do nhà máy I sản xuất là $P\left(A|B\right)$ và xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là $P\left(\overline{A}|B\right)$.
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,4.0,04}{0,4.0,04+ 0,6.0,03}\approx 47\%$.
Suy ra $P\left(\overline{A}|B\right) = 1- P\left(A|B\right)\approx 53\%$.
Vậy xác suất linh kiện đó do nhà máy II sản xuất là cao hơn.