[Bayes] Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 50 người trả lời “sẽ mua”, 90 người trả lời “có thể sẽ mua” và 60 người trả lời “không mua”

Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 50 người trả lời “sẽ mua”, 90 người trả lời “có thể sẽ mua” và 60 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 60%, 40% và 1%. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là $\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{1}{2}a+ b.$
Đáp án: 14,5

Lời giải: Gọi biến cố $A$ : “Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”.
Biến cố $H_{1}$ : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời sẽ mua”.
Biến cố $H_{2}$ : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”.
Biến cố $H_{3}$ : “Khách hàng được phỏng vấn trả lời không mua”.
Ta có $P\left(H_{1}\right) = \dfrac{50}{200} = 0,25 P\left(H_{2}\right) = \dfrac{90}{200} = 0,45 P\left(H_{3}\right) = \dfrac{60}{200} = 0,3$
$P\left(A|H_{1}\right) = 0,6 ; P\left(A|H_{2}\right) = 0,4 ; P\left(A|H_{3}\right) = 0,1$
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có tiềm năng của sản phẩm đó trên thị trường là
$\begin{array}{l}P\left(A\right) = P\left(H_{1}\right).P\left(A|H_{1}\right)+ P\left(H_{2}\right).P\left(A|H_{2}\right)+ P\left(H_{3}\right).P\left(A|H_{3}\right) \\ = 0,25.0,6+ 0,45.0,4+ 0,3.0,1 = 0,36.\end{array}$
Theo công thức Bayes, ta có xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là
$P\left(H_{1}|A\right) = \dfrac{P\left(H_{1}\right).P\left(A|H_{1}\right)}{P\left(A\right)} = \dfrac{0,25.0,6}{0,36} = \dfrac{5}{12}.$
Suy ra $a = 5, b = 12.$ Vậy $T = \dfrac{1}{2}a+ b = \dfrac{1}{2}.5+ 12 = 14,5.$