[Bayes] Một công ty du lịch bố trí chỗ nghỉ cho đoàn khách tại ba khách sạn $A, B, C$ theo tỉ lệ $20$ %, $50$ %, $30$ %

Một công ty du lịch bố trí chỗ nghỉ cho đoàn khách tại ba khách sạn $A, B, C$ theo tỉ lệ $20$ %, $50$ %, $30$ %. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là $5$ %, $4$ %, $8$ %. Tính xác suất để một khách ở khách sạn $C$, biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,29

Lời giải: Gọi biến cố $H$ : “Khách nghỉ ở phòng có điều hòa bị hỏng”
$A$ : “Khách nghỉ tại khách sạn $A$ ”
$B$ : “Khách nghỉ tại khách sạn $B$ ”
$C$ : “Khách nghỉ tại khách sạn $C$ ”
Theo bài ra ta có: $P\left(A\right) = 0,2$ ; $P\left(B\right) = 0,5$ ; $P\left(C\right) = 0,3$.
$P\left(H|A\right) = 0,05$ ; $P\left(H|B\right) = 0,04$ ; $P\left(H|C\right) = 0,08$
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
$P\left(H\right) = P\left(A\right).P\left(H|A\right) + P\left(B\right).P\left(H|B\right) + P\left(C\right).P\left(H|C\right)$
$= 0,2. 0,05 + 0,5.0,04 + 0,3.0,08 = 0,054$.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn $A$, biết khách đó ở phòng điều hòa bị hỏng là: $P\left(A|H\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(H|A\right)}{P\left(H\right)} = \dfrac{0,2.0,05}{0,054} = \dfrac{5}{27} \simeq 0,19$.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn $C$, biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng là:
$P\left(C|\overline{H}\right) = \dfrac{P\left(C\right).P\left(\overline{H}|C\right)}{P\left(\overline{H}\right)} = \dfrac{0,3.\left(1- 0,08\right)}{1- 0,054} = \dfrac{138}{473} \simeq 0,29$.