[Bayes] Một loại linh kiện do hai nhà máy $I, II$ cùng sản xuất

Một loại linh kiện do hai nhà máy $I, II$ cùng sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy $I,II$ lần lượt là : $0,04 ; 0,03$. Trong một lô linh kiện để lẫn lộn $80$ sản phẩm của nhà máy $I$ và $120$ sản phẩm của nhà máy $II$. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện của lô hàng đó. Giả sử linh kiện được chọn là phế phẩm. Tính xác suất linh kiện này thuộc nhà máy $I$.(làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).
Đáp án: 0,47

Lời giải: Ta xét các biến cố
$A$ : “ Linh kiện được lấy ra là phế phẩm’’
$B$ : “ Linh kiện lấy ra từ nhà máy $I$ ”
$\overline{B}$ : “ Linh kiện lấy ra từ nhà máy $II$ ”
Theo giả thuyết ta có $P\left(B\right) = \dfrac{80}{200} = 0,4$ ; $P\left(\overline{B}\right) = \dfrac{120}{200} = 0,6$ ; $P\left(A|B\right) = 0,04$ ; $P\left(A|\overline{B}\right) = 0,03$
Theo công thức toàn phần xác suất lấy linh kiện là phế phẩm là
$P\left(A\right) = P\left(B\right).P\left(A|B\right)+ P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right) =$ $0,4.0,04+ 0,6.0,03 = 0,034$.
Mặt khác theo công thức Bayes xác suất linh kiện phế phẩm do nhà máy $I$ sản xuất là:
$P\left(B|A\right) = \dfrac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)} = \dfrac{0,4.0,04}{0,034} = \dfrac{8}{17}\approx 0,47$