[Bayes] Một căn bệnh có 2% dân số mắc phải

Một căn bệnh có 2% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 97%. Lấy một người đi kiểm tra. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

*a) Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra là $0,02$.

*b) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $0,99$.

c) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: $0,01$.

d) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $0,25$.

Lời giải: a) Đúng: Gọi $A$ là biến cố “người đó mắc bệnh”
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P\left(A\right) = 2\% = 0,02$
b) Đúng: Gọi $B$ là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính”
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $P\left(B|A\right) = 99\% = 0,99$
c) Sai: Xác xuất kết quả âm tính nếu người đó không mắc bệnh là: $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right) = 97\% = 0,97$.
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là:
$P\left(B|\widehat{A}\right) = 1- P\left(\overline{B}|\overline{A}\right) = 1- 0,97 = 0,03$
d) Sai: Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P\left(\widehat{A}\right) = 1- 0,02 = 0,98$
Xác suất để người đó thực sự bị bệnh là:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\widehat{A}\right).P\left(B|\widehat{A}\right)} = \dfrac{0,02.0,99}{0,02.0,99+ 0,98.0,03} = \dfrac{33}{82}\approx 0,402.$
(Đúng) Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra là $0,02$.
(Đúng) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $0,99$.
(Sai) Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: $0,01$.
(Sai) Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là $0,25$