[Bayes] Giả sử có một loại bệnh S mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,1\%$

Giả sử có một loại bệnh S mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,1\%$. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh S khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là $5\%$ (tức là trong số những người không bị bệnh S có $5\%$ số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh S của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

A. $1,69\%$.

B. $0,5\%$.

C. $1,97\%$.

*D. $1,96\%$.

Lời giải: Gọi $A$ là biến cố: “Người đó mắc bệnh S”; $B$ là biến cố: “Người đó xét nghiệm có phản ứng dương tính”.
Ta cần tính $P\left(A|B\right)$.
Ta có: $P\left(A\right) = 0,001$ ; $P\left(\overline{A}\right) = 1- P\left(A\right) = 1- 0,001 = 0,999$ ; $P\left(B|A\right) = 1$ ; $P\left(B|\overline{A}\right) = 0,05$.
Thay vào công thức Bayes ta được:
$P\left(A|B\right) = \dfrac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+ P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)} = \dfrac{0,001.1}{0,001.1+ 0,999.0,05} = \dfrac{20}{1019}\approx 1,96\%$.