Một cái trống trường có bán kính các đáy là $30$cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính $40$cm, chiều dài của trống là $1$m

Một cái trống trường có bán kính các đáy là $30$cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính $40$cm, chiều dài của trống là $1$m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường parabol. Thể tích của cái trống là bao nhiêu dm$^3$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 425

Lời giải:

Mặt phẳng đi qua trục của trống cắt trống theo thiết diện như hình vẽ. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. (Ta coi $1$ đơn vị trên trục toạ độ $=10$ cm).
Gọi parabol cần tìm có dạng $y=ax^2+bx+c$, với $a\neq 0$.
Parabol đi qua $3$ điểm $A(-5;3)$, $(0;4)$, $B(5;3)$ nên ta có hệ phương trình
\begin{align*}
&\left\{\begin{array}{l} 25a-5b+c=3\\ c=4\\ 25a+5b+c=3\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-0{,}04\\ b=0\\ c=4.\end{array}\right.
\end{align*}
Vậy phương trình của parabol là $y=-0{,}04x^2+4$.
Thiết diện vuông góc với trục của cái trống là một hình tròn.
Diện tích của thiết diện là
\begin{align*}
&S(x)=\pi R^2=\pi \left(-0{,}04x^2+4\right)^2=\pi\left(\dfrac{1}{625}x^4-\dfrac{8}{25}x^2+16\right).
\end{align*}
Vậy thể tích của cái trống là
$\begin{array}{l} V = \displaystyle\int\limits_{-5}^5 S(x) \mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_{-5}^5 \pi\left(\dfrac{1}{625}x^4-\dfrac{8}{25}x^2+16\right)\mathrm{d}x\\ = \pi\left(\dfrac{1}{625}\cdot\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{8}{25}\cdot\dfrac{x^3}{3}+16x\right)\bigg|_{-5}^5\approx 425{,}2 \left(\text{dm}^3\right). \end{array}$