Một tổ gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 học sinh để tham gia đội tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nam.

Dạng toán và Phương pháp giải

Chủ đề: Xác suất cổ điển (Toán 10)

Dạng toán: Tính xác suất của biến cố liên quan đến bài toán đếm (sử dụng tổ hợp, chỉnh hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân).

Phương pháp giải: Để tính xác suất của biến cố $A$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định phép thử và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
• Bước 2: Xác định biến cố $A$ và tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, kí hiệu là $n(A)$.
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

---

Lời giải chi tiết

Bài toán: Một tổ gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 học sinh để tham gia đội tình nguyện. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nam.

Giải:

Tổng số học sinh trong tổ là: $7 + 5 = 12$ (học sinh).

Phép thử: Chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 học sinh từ 12 học sinh. Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh:
$$n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$$

Gọi $A$ là biến cố: “Trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nam”.

Để chọn được 4 học sinh có đúng 2 học sinh nam, ta phải chọn 2 học sinh nam (từ 7 nam) và 2 học sinh nữ (từ 5 nữ). Quá trình chọn gồm 2 công đoạn:

• Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh nam từ 7 học sinh nam, có $C_7^2 = 21$ cách.
• Công đoạn 2: Chọn 2 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ, có $C_5^2 = 10$ cách.

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$$n(A) = 21 \times 10 = 210$$

Xác suất của biến cố $A$ là:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{210}{495} = \frac{14}{33}$$

Kết luận: Xác suất để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 học sinh nam là $\frac{14}{33}$.

---

Bài tập làm thêm

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để bạn rèn luyện. Hãy tự giải trước khi xem đáp án nhé!

• Bài 1: Một lớp có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ. Giáo viên cần chọn ngẫu nhiên 3 bạn để đi lao động. Tính xác suất để trong 3 bạn được chọn có đúng 1 bạn nữ.
• Bài 2: Trong một hộp chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Tính xác suất để lấy được 3 viên bi trắng và 1 viên bi đen.
• Bài 3: Đội văn nghệ của trường có 10 người, trong đó có 4 nam và 6 nữ. Cần chọn ra một nhóm 5 người để biểu diễn. Tính xác suất để nhóm biểu diễn có đúng 3 bạn nữ.
• Bài 4: Trên một kệ sách có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lý và 3 cuốn sách Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 cuốn sách từ kệ. Tính xác suất để 3 cuốn sách lấy ra có đúng 2 cuốn sách Toán.
• Bài 5: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong 2 lần gieo bằng 7.

Xem đáp án và lời giải

Bài 1:
– $n(\Omega) = C_{15}^3 = 455$.
– Có 1 nữ thì phải có 2 nam. Số cách chọn: $n(A) = C_7^1 \times C_8^2 = 7 \times 28 = 196$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{196}{455} = \frac{28}{65}$.

Bài 2:
– $n(\Omega) = C_{10}^4 = 210$.
– Số cách chọn 3 trắng, 1 đen: $n(A) = C_6^3 \times C_4^1 = 20 \times 4 = 80$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{80}{210} = \frac{8}{21}$.

Bài 3:
– $n(\Omega) = C_{10}^5 = 252$.
– Chọn 3 nữ và 2 nam: $n(A) = C_6^3 \times C_4^2 = 20 \times 6 = 120$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$.

Bài 4:
– Tổng số sách là 12 cuốn. $n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.
– Lấy 2 cuốn Toán và 1 cuốn môn khác (Vật lý hoặc Hóa học, tổng cộng có 7 cuốn môn khác).
– $n(A) = C_5^2 \times C_7^1 = 10 \times 7 = 70$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{70}{220} = \frac{7}{22}$.

Bài 5:
– Không gian mẫu của 2 lần gieo xúc xắc: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.
– Các kết quả thuận lợi để tổng bằng 7 là: $(1;6), (6;1), (2;5), (5;2), (3;4), (4;3)$. Suy ra $n(A) = 6$.
– Xác suất: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.