Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ

Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x\left( \text{cm} \right)$, chiều cao là $h\left( \text{cm} \right)$ và thể tích là $4000\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$. Tìm $x\left( \text{cm} \right)$ sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Lời giải

Đáp án: 20.

Điều kiện $x{>}0$

Ta có thể tích của chiếc hộp là $V={{x}^{2}}.h$

Theo giả thiết thể tích chiếc hộp bằng $4000\text{c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ nên ta có ${{x}^{2}}.h=4000\Leftrightarrow h=\dfrac{4000}{{{x}^{2}}}$

Ta có diện tích xung quanh và đáy của chiếc hộp là $S={{x}^{2}}+4xh={{x}^{2}}+4x.\dfrac{4000}{{{x}^{2}}}={{x}^{2}}+\dfrac{16000}{x}$

Ta khảo sát hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+\dfrac{16000}{x}$

Ta có ${f}’\left( x \right)=2x-\dfrac{16000}{{{x}^{2}}}$, ${f}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=20$

Ta có $x=20\left( \text{cm} \right)$ thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa nhất.