Một bể ban đầu chứa $150$ lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm $50$ lít nước, đồng thời cho vào bể $20$ gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi $f\left( t \right)$ (gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút ( $t\ge 0$ ), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( t \right)$, ta thấy giá trị $f\left( t \right)$ tăng theo thời gian $t$ nhưng không vượt ngưỡng $p$ gam/lít. Tìm số $p$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).
Lời giải
Đáp án: 0,4.
Thể tích nước trong bể sau $t$ phút là $150+50t$ (lít).
Khối lượng chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $20t$ (gam).
Nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $f\left( t \right)=\dfrac{20t}{50t+150}$ (gam/lít).
Ta có ${f}’\left( t \right)=\dfrac{3000}{{{\left( 50t+150 \right)}^{2}}}{>}0,\forall t\ge 0$ và $\lim\limits_{t\to +\infty } \dfrac{20t}{50t+150}=\dfrac{2}{5}=0,4$.
Vậy giá trị hàm $f\left( t \right)$ luôn tăng nhưng không vượt ngưỡng 0,4 gam/lít.