Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình $S$ (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau $t$ tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{c{{t}^{2}}+d}$ và $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R};ac\ne 0)$

Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình $S$ (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau $t$ tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{c{{t}^{2}}+d}$ và $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R};ac\ne 0)$.

Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút.

Lời giải

Đáp số: $45$.

+) Do $\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}=\pm \infty$ nên $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}$ loại.

+) Ta có $S(0)=0\Leftrightarrow b=0\Rightarrow S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}}{c{{t}^{2}}+d}.$

+) Mặt khác có $\left\{ \begin{array}{l}

S(4)=20 \\

S(6)=30 \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

16a=20(16c+d)\ \ \\

36a=30(36c+d) \\

\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

4a=80c+5d\ \ \ \ \ \ \ (1) \\

6a=180c+5d\ \ \ \ \ (2) \\

\end{array} \right.$

Lấy $(2)$ trừ $(1)$ ta được $a=50c$ thay vào $(1)$ ta được $d=24c$.

Vậy $S(t)=\dfrac{50c{{t}^{2}}}{c{{t}^{2}}+24c}=\dfrac{50{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+24}.$

+) Do đó $S(15)=\dfrac{{{50.15}^{2}}}{{{15}^{2}}+24}\approx 45.$