Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình $S$ (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau $t$ tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{c{{t}^{2}}+d}$ và $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}$ $(a,b,c,d\in \mathbb{R};ac\ne 0)$.
Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút.
Lời giải
Đáp số: $45$.
+) Do $\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}=\pm \infty$ nên $S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}+b}{ct+d}$ loại.
+) Ta có $S(0)=0\Leftrightarrow b=0\Rightarrow S(t)=\dfrac{a{{t}^{2}}}{c{{t}^{2}}+d}.$
+) Mặt khác có $\left\{ \begin{array}{l}
S(4)=20 \\
S(6)=30 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
16a=20(16c+d)\ \ \\
36a=30(36c+d) \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a=80c+5d\ \ \ \ \ \ \ (1) \\
6a=180c+5d\ \ \ \ \ (2) \\
\end{array} \right.$
Lấy $(2)$ trừ $(1)$ ta được $a=50c$ thay vào $(1)$ ta được $d=24c$.
Vậy $S(t)=\dfrac{50c{{t}^{2}}}{c{{t}^{2}}+24c}=\dfrac{50{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+24}.$
+) Do đó $S(15)=\dfrac{{{50.15}^{2}}}{{{15}^{2}}+24}\approx 45.$