Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-3x-4}{(-4m-3)x+1}$ là đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{8}$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-3x-4}{(-4m-3)x+1}$ là đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{8}$. Tính $m$.

A. $\dfrac{3}{4}$.

B. $-\dfrac{1}{2}$.

C. $\dfrac{1}{2}$.

D. $\dfrac{1}{4}$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Tiệm cận xiên song song với đường thẳng trên nên $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{1}{4}$.
Suy ra $\dfrac{-1}{-4m-3}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}$.
Khi đó tiệm cận xiên có phương trình: $y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{13}{16}$ (nhận).
Lưu ý: Hai đường thẳng song song khi $a=a^{\prime}$ và $b\neq b^{\prime}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm tham số m dựa trên điều kiện về hệ số góc của tiệm cận xiên (TCN) của hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất, $y=\dfrac{A x^2+B x+C}{D x+E}$. Tiệm cận xiên có dạng $y=kx+b$ với hệ số góc $k = \dfrac{A}{D}$. Điều kiện tiệm cận xiên song song với đường thẳng $y=k_{target}x+b_{target}$ là $k = k_{target}$. Phương pháp giải là thiết lập và giải phương trình $\dfrac{A}{D} = k_{target}$ để tìm $m$. Cần đảm bảo mẫu số của hàm số không bằng 0 tại giá trị $m$ tìm được.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+x-2}{(3m-2)x+5}$ là đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình $y=-\dfrac{3}{4}x-1$. Tính giá trị của $m$.
A. $m = 2$.
B. $m = 0$.
C. $m = -1$.
D. $m = 1$.
Đáp án đúng: D. $m=1$.
Lời giải ngắn gọn: Tiệm cận xiên của hàm số $y=\dfrac{3x^2+x-2}{(3m-2)x+5}$ có hệ số góc $k = \dfrac{3}{3m-2}$.
Vì tiệm cận xiên song song với đường thẳng $y=-\dfrac{3}{4}x-1$, ta phải có hệ số góc $k = -\dfrac{3}{4}$.
Ta có: $\dfrac{3}{3m-2} = -\dfrac{3}{4}$.
$1 = -\dfrac{1}{4}(3m-2)$
$-4 = 3m – 2$
$3m = -2$
$m = -2/3$.
(Lưu ý: Nếu ta sử dụng $k = -3/4$ ta tìm ra $m=-2/3$. Cần kiểm tra lại đề bài gốc hoặc thay đổi hệ số để đáp án khớp với một trong các lựa chọn.)
*Điều chỉnh bài toán tương tự để $m=1$ là đáp án A.*
Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+x-2}{(3m-2)x+5}$ là đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình $y=3x-1$. Tính giá trị của $m$.
A. $m = 1$.
B. $m = 2$.
C. $m = 0$.
D. $m = -1$.
Đáp án đúng: A. $m=1$.
Lời giải ngắn gọn: Hệ số góc của TCN là $k = \dfrac{3}{3m-2}$.
TCN song song với $y=3x-1$, nên $k=3$.
$\\dfrac{3}{3m-2} = 3 \Leftrightarrow 3m-2 = 1 \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m=1$. (Thỏa mãn $3m-2 \neq 0$).