Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-24x^2+72x+1$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) $y^{\prime}=6x^2-50x+72$.

Bài toán gốc

Câu 19. Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-24x^2+72x+1$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) $y^{\prime}=6x^2-50x+72$.

b) Hàm số không có cực trị.

c) Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó diện tích tam giác $OAB$ bằng $193$.

d) Hàm số $y=f(-x-3)$ đạt cực đại tại điểm $x=-9$.

Lời giải: $y^{\prime}=6x^2-48x+72$
$y^{\prime}=0\Leftrightarrow x_1=2,x_2=6$.

(Sai) $y^{\prime}=6x^2-50x+72$.
(Sai) Hàm số không có cực trị.
(Sai) Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số khi đó diện tích tam giác $OAB$ bằng $193$.
(Vì): $A(2;65), B(6;1)$. Khi đó $S_{OAB}=\left|\dfrac{(x_A-x_O).(y_B-y_O)-(x_B-x_O)(y_A-y_O)}{2}\right|$ $=\left|\dfrac{x_A.y_B-x_By_A}{2}\right|=194$.
(Sai) Hàm số $y=f(-x-3)$ đạt cực đại tại điểm $x=-9$.
(Vì): $f^{\prime}(-x-3)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} -x-3=2\text{ (CĐ) }\\ -x-3=6\text{ (CT)} \end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-5\text{ (CĐ) } \\ x=-9\text{ (CT) } \end{array}\right.$.
Hàm số $y=f(x)$ và hàm số $y=f(ax+b)$ có cùng số điểm cực trị, cùng số điểm cực đại, cùng số điểm cực tiểu. Biến điểm cực đại thành điểm cực đại, biến điểm cực tiểu thành điểm cực tiểu. Có giá trị cực đại bằng nhau và giá trị cực tiểu bằng nhau tương ứng.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài tập tổng hợp về khảo sát hàm số bậc ba, yêu cầu kiểm tra các phát biểu liên quan đến đạo hàm, cực trị, ứng dụng hình học của cực trị (tính diện tích tam giác tạo bởi gốc tọa độ và hai điểm cực trị), và tính chất cực trị của hàm hợp $y=f(ax+b)$. Phương pháp giải chính là: 1. Tính đạo hàm bậc nhất ($y’$). 2. Giải $y’=0$ để tìm hoành độ cực trị. 3. Tính tung độ để xác định tọa độ các điểm cực trị $A, B$. 4. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ $S_{OAB} = 1/2 |x_A y_B – x_B y_A|$. 5. Đối với hàm hợp $y=f(u(x))$, áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $y’ = f'(u) imes u’$. Nếu $u(x)=ax+b$, hoán vị tính chất cực trị (CĐ/CT) xảy ra nếu $a < 0$.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)=x^3-6x^2+5$. Hãy xác định tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Hàm số có hai điểm cực trị là $x=0$ và $x=4$.
b) Gọi $A, B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Diện tích tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc tọa độ) bằng $10$ đơn vị diện tích.
c) Hàm số $g(x) = f(1-x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

Đáp án và Lời giải ngắn gọn:

Ta có $y’=3x^2-12x$. $y’=0
Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=4$.

Các điểm cực trị là $A(0; 5)$ (CĐ) và $B(4; -27)$ (CT).

a) Đúng. Hoành độ cực trị là $x=0$ và $x=4$.

b) Đúng. $S_{OAB} = 1/2 |x_A y_B – x_B y_A| = 1/2 |(0)(-27) – (4)(5)| = 1/2 |-20| = 10$.

c) Đúng. Ta xét cực trị của $g(x) = f(1-x)$. Cực trị xảy ra khi $1-x$ là điểm cực trị của $f(x)$.

$1-x=0
Leftrightarrow x=1$. (Đây là điểm CĐ của f, do hệ số $a=-1 < 0$ nên nó trở thành điểm CT của $g$). $1-x=4
Leftrightarrow x=-3$. (Đây là điểm CT của f, do hệ số $a=-1 < 0$ nên nó trở thành điểm CĐ của $g$). Vậy $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$.