Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \({\log _2}\frac{{4(x + y)}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}}\).

Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \({\log _2}\frac{{4(x + y)}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}}\).

A. \(2\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{4}{3}\).

D. \(\frac{3}{4}\).

Lời giải:

Phương trình đã cho\( \Leftrightarrow \)\(1 + {\log _2}\frac{{2x + 2y}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = {x^2} + {y^2} + 2 – 2x – 2y\)\( \Leftrightarrow 2x + 2y + {\log _2}(2x + 2y) = {\log _2}({x^2} + {y^2} + 1) + {x^2} + {y^2} + 1\) \(\left( * \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\). Dễ thấy \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 = 2x + 2y \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\).

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) \( \Rightarrow M \in \left( C \right):\) tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Mặt khác \(P = \frac{x}{{y + 1}} \Rightarrow M \in \Delta 😡 – Py – P = 0\).

Để tồn tại điểm chung giữa \(\Delta \) và \(\left( C \right)\) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 2P} \right|}}{{\sqrt {1 + {P^2}} }} \le 1\)

\( \Leftrightarrow 3{P^2} – 4P \le 0 \Leftrightarrow 0 \le P \le \frac{4}{3}\).

\(P = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1\\3x – 4y – 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{1}{5}\end{array} \right.\). Vậy P lớn nhất là \(\frac{4}{3}\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024