Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2024\) và \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y\)

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2024\) và \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y\)

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(2023\)

D. \(2024\)

Lời giải:

Ta có \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y \Leftrightarrow {2^{y + 1}} – {\log _2}\left( {\frac{{2x + {2^y}}}{2}} \right) = 2x + {2^y} – y\)

\( \Leftrightarrow {2^{y + 1}} + \left( {y + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x + {2^y}} \right) + 2x + {2^y}\)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = {2^u} + u\), ta có \(f’\left( u \right) = {2^u}\ln 2 + 1 > 0,\forall u\) \( \Rightarrow f\left( u \right)\) đồng biến

Suy ra \({2^{y + 1}} + \left( {y + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x + {2^y}} \right) + 2x + {2^y}\)\( \Leftrightarrow {2^{y + 1}} = 2x + {2^y} \Leftrightarrow {2^y} = 2x\)

Mà ta có \(2 \le x \le 2024\)\( \Leftrightarrow 4 \le 2x \le 4048 \Leftrightarrow 4 \le {2^y} \le 4048 \Leftrightarrow {\log _2}4 \le y \le {\log _2}4048\)

Do y là số nguyên nên \(y \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\)

Suy ra có 10 cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn điều kiện

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024