Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và

\(\widehat {ABC} = {60^0}\). Biết tứ giác \(BCC’B’\) là hình thoi có \(\widehat {B’BC}\) là góc nhọn, mặt phẳng \(\left( {BCC’B’} \right)\)vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB’A’} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) bằng

A. \(\frac{{6{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

B. \(\frac{{{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

C. \(\frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

D. \(\frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 7 }}\).

Lời giải:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a\,,\) \(\widehat {ABC} = {60^0}\)\(AB = 2a.{\rm{cos6}}{{\rm{0}}^0} = a,AC = 2a.{\rm{sin6}}{{\rm{0}}^0} = a\sqrt 3 \). Ta có : \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Dựng \(B’H\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).

Vì \(\left( {BCC’B’} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(B’H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B’H \bot AB\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng \(HK \bot AB\) tại \(K\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HK\\AB \bot B’H\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B’HK} \right) \Rightarrow AB \bot B’K\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot AB,HK \subset \left( {ABC} \right)\\B’K \bot AB,B’K \subset \left( {ABB’A’} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {ABB’A’} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B’KH} = {45^0}\).

Vậy \(\Delta B’HK\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow B’H = HK\). Đặt \(B’H = HK = x\).

Xét \(\Delta B’HB\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow BH = \sqrt {4{a^2} – {x^2}} \).

Ta lại có \(HK\) song song \(AC\).

\( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{\sqrt {4{a^2} – {x^2}} }}{{2a}} = \frac{x}{{a\sqrt 3 }} \Leftrightarrow a\sqrt 3 .\sqrt {4{a^2} – {x^2}} = 2a.x \Leftrightarrow 4{x^2} = 3\left( {4{a^2} – {x^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 7{x^2} = 12{a^2} \Rightarrow x = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\).

Vậy thể tích hình lăng trụ là \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).