Gọi \(S\) là tích các nghiệm của phương trình \({5^{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{.2^{\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}}}} = {25.4^{\frac{1}{{x – 1}}}}\). Khi đó giá trị của \(S\)là

Gọi \(S\) là tích các nghiệm của phương trình \({5^{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{.2^{\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}}}} = {25.4^{\frac{1}{{x – 1}}}}\). Khi đó giá trị của \(S\)là

A. \(S = 4\).

B. \(S = 4{\log _5}2 – 4\).

C. \(S = {\log _5}2 – 1\).

D. \(S = – 4\).

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 3x \ge 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 0\end{array} \right.\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 0\end{array} \right.\).

Ta có: \({5^{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{.2^{\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}}}} = {25.4^{\frac{1}{{x – 1}}}} \Leftrightarrow {5^{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{.2^{\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}}}} = {5^2}{.2^{\frac{2}{{x – 1}}}}\).

\( \Leftrightarrow {\log _5}{5^{\sqrt {{x^2} – 3x} }} + {\log _5}{2^{\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}}}} = {\log _5}{5^2} + {\log _5}{2^{\frac{2}{{x – 1}}}}\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 3x} – 2 + \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} – 3x} }}{{x – 1}} – \frac{2}{{x – 1}}} \right){\log _5}2 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} – 3x} – 2} \right).\left( {1 + \frac{1}{{x – 1}}{{\log }_5}2} \right) = 0\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\sqrt {{x^2} – 3x} – 2} \right) = 0\\\left( {1 + \frac{1}{{x – 1}}{{\log }_5}2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( n \right)\\x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( n \right)\\x = 1 – {\log _5}2\,\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\)

So với điều kiện ta nhận các nghiệm \(x = – 1\) và \(x = 4\).

Vậy tích các nghiệm của phương trình là \(S = – 4\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ.