Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,\) \(f\left( x \right) > 0,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \(\sqrt {26} \).

B. \(\sqrt {25} \).

C. \(\sqrt {23} \).

D. \(\sqrt {24} \).

Lời giải:

Fb: Phuong Tran Duc

Ta có \(f\left( x \right).f’\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \)\( \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = \left( {2x + 1} \right)\).

Suy ra \(\int {\frac{{f\left( x \right).f’\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}{\rm{d}}x} = \int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x\)\( \Leftrightarrow \int {\frac{{{\rm{d}}\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{d}}x\)\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\).

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \), suy ra \(\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\).

Với \(C = 3\) thì \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} – 1} \). Vậy \(f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HAM – TICH PHÂN – ỨNG DỤNG.