Cho hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – 2t\\y = 3\\z = t\end{array} \right.\). Mặt phẳng song song và cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là
A. \(x + 5y – 2z + 12 = 0\).
B. \(x + 5y + 2z – 12 = 0\).
C. \(x – 5y + 2z – 12 = 0\).
D. \(x + 5y + 2z + 12 = 0\).
Lời giải:
\({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; – 1;2} \right)\).
\({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 2;0;1} \right)\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng cần tìm, có VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { – 1; – 5; – 2} \right)\)
\( \Rightarrow \left( \alpha \right):x + 5y + 2z + m = 0\).
Lấy điểm \({M_1}\left( {2;1;0} \right) \in {d_1}\), \({M_2}\left( {2;3;0} \right) \in {d_2}\).
Vì \(\left( \alpha \right)\) cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(d\left( {{d_1},\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {{d_2},\left( \alpha \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow d\left( {{M_1},\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {{M_2},\left( \alpha \right)} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 7} \right|}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{\left| {m + 17} \right|}}{{\sqrt {30} }}\) \( \Leftrightarrow m = – 12\).
Vậy \(\left( \alpha \right):x + 5y + 2z – 12 = 0\).