Giải bài 9 Đường trung trực của một đoạn thẳng – Chương 7 Toán 7 Cánh diều

Giải bài 9 Đường trung trực của một đoạn thẳng – Chương 7 Toán 7 Cánh diều
============

Câu hỏi khởi động trang 86 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Quan sát Hình 86 và đưa ra mối liên hệ giữa đường thẳng d và đoạn thằng AB.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB. 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Hoạt động 1 trang 100 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Đếm số ô vuông để xác định độ dài đoạn thẳng IA, IB.

b) Quan sát Hình 87 để đưa ra số đo góc của các góc \({I_1},{I_2}\) .

Lời giải chi tiết

a) \(IA = IB = 2\).

b) \({I_1} = {I_2} = 90^\circ \).

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Luyện tập 1 trang 101 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Chứng minh AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC

Lời giải chi tiết

M là trung điểm của BC nên B, M, C thằng hàng → \(\widehat {BMC} = 180^\circ \). Mà \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\)nên \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = 180^\circ :2 = 90^\circ \)→ \(AM \bot BC\).

Vậy AM đi qua trung điểm M của đoạn thẳng BC và AM vuông góc với BC. Hay AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Hoạt động 2 trang 101 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta MOA = \Delta MOB\)theo trường hợp c.g.c.

b) Dựa vào kết quả của phần a) để chứng minh MA = MB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc d nên MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB

\(\Rightarrow MO \bot AB \to \widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \).

Xét tam giác MOA và tam giác MOB có:

     OM chung;

     \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = 90^\circ \);

     OA = OB (O là trung điểm của đoạn thẳng AB).

Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\) (c.g.c)

b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\) nên MA = MB ( 2 cạnh tương ứng)

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Luyện tập 2 trang 101 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vậy suy ra mái nhà bên trái dài 3 m nên mái nhà bên phải cũng dài 3 m.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Hoạt động 3 trang 101 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau theo trường hợp c.c.c.

b) Để xem MO có là đường trung trực của AB hay không, ta tìm mối liên hệ giữa MO và AB.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác MOA và MOB có:

     OA = OB (O là trung điểm của AB);

     MO chung;

     MA = MB.

Vậy \(\Delta MOA = \Delta MOB\)(c.c.c).

b) \(\Delta MOA = \Delta MOB\)nên \(\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOB} = 90^\circ \)hay \(MO \bot AB\).

Vậy MO có là đường trung trực của đoạn thẳng AB (MO đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng AB).

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Luyện tập 3 trang 102 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Dựa vào tính chất của đường thẳng trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường thẳng trung trực của đoạn thẳng đó.

b) Muốn xem đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không, ta tìm mối liên hệ giữa AH với đoạn thẳng BC.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Vậy điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

b) Ta có tam giác ABC cân mà đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

Vậy AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC. (AH đi qua trung điểm H của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC).

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Hoạt động 4 trang 102 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A

Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D

Lời giải chi tiết

Ta thực hiện như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.

Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 2 cm.

Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính 2 cm, cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Giải bài 1 trang 103 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Chứng minh \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\)bằng cách chứng minh \(\widehat {CAB} – \widehat {DAB} = \widehat {CBA} – \widehat {DBA}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nên CD đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

Hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CBA};\widehat {DAB} = \widehat {DBA}\).

Vậy \(\widehat {CAB} – \widehat {DAB} = \widehat {CBA} – \widehat {DBA}\) suy ra: \(\widehat {CAD} = \widehat {CBD}\). 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Giải bài 2 trang 103 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Chứng minh AB // CD bằng cách dựa vào đường thẳng a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

b) Chứng minh \(\Delta MNC = \Delta MND\) theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

c) Dựa vào kết quả của phần b) để chứng minh \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).

d) Chứng minh \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) dựa vào cách chứng minh \(\Delta MAD = \Delta MBC\).

e) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) dựa vào kết quả của phần d).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên \(a \bot AB;a \bot CD\).

Suy ra: AB // CD.

b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.

Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.

Vậy \(\Delta MNC = \Delta MND\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) \(\Delta MNC = \Delta MND\)nên \(\widehat {CMN} = \widehat {DMN}\).

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} – \widehat {DMN} = \widehat {BMN} – \widehat {CMN}\).

Vậy \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\).

d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:

     MA = MB;

     \(\widehat {AMD} = \widehat {BMC}\);

     MD = MC.

Vậy \(\Delta MAD = \Delta MBC\)(c.g.c). Suy ra: \(AD = BC,\widehat A = \widehat B\) (cặp cạnh và góc tương ứng).

e) \(\Delta MAD = \Delta MBC\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {BCM}\) (2 góc tương ứng).

\(\Delta MNC = \Delta MND\) nên \(\widehat {MCN} = \widehat {MDN}\) (2 góc tương ứng).

Vậy \(\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}\) hay \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\). 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Giải bài 3 trang 103 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

Hai đường thẳng không cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có: a và b lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng AB và BC nên \(a \bot AB,b \bot BC\).

Mà ba điểm A, B, C thẳng hàng với nhau nên đường thẳng a và b không cắt nhau và chúng cùng vuông góc với đường thẳng chứa ba điểm A, B, C.

Vậy a // b.

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9

Giải bài 4 trang 103 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Dựa vào tính chất của đường trung trực: Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút.

b) Dựa vào tính chất trong tam giác: Tổng hai cạnh bất kì luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mà điểm I thuộc đường thẳng d nên suy ra:  IA = IB. (Một điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút).

Ta có: \(MB = MI + IB\) mà IA = IB nên \(MB = MI + IA = AI + IM\).

b) Xét tam giác AMI có: \(MA < AI + IM\)(Tổng hai cạnh bất kì trong một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại) mà \(MB = AI + IM\).

Vậy \(MA < MB\). 

 

Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 9