Giải bài 13 Tính chất ba đường cao của tam giác – Chương 7 Toán 7 Cánh diều
============
Câu hỏi khởi động trang 116 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB (Hình 132).
Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP?
Phương pháp giải
Quan sát Hình 132 rồi đưa ra nhận xét về ba đường thẳng AM, BN, CP.
Lời giải chi tiết
Ba đường thẳng AM, BN, CP lần lượt vuông góc với ba cạnh BC, AC, AB của tam giác và chúng giao nhau tại một điểm.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Hoạt động 1 trang 116 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC ( Hình 133). Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.
Phương pháp giải
Kẻ đường thẳng qua A, vuông góc với BC tại M
Lời giải chi tiết
Ta có hình vẽ sau:
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Luyện tập 1 trang 117 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.
Phương pháp giải
Quan sát hình vẽ tam giác ABC vuông tại A để xác định đường cao đi qua B và đường cao đi qua C.
Lời giải chi tiết
Đường cao đi qua B là AB.
Đường cao đi qua C là AC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Hoạt động 2 trang 117 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC (Hình 137), cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải
Quan sát Hình 137 để xem ba đường cao AM, BN, CP có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết
Ba đường cao AM, BN, CP có cùng đi qua một điểm là điểm H.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Luyện tập 2 trang 117 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải
Chứng minh G là trực tâm của tam giác ABC bằng cách chứng minh G là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.
G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.
Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
AB = AC (tam giác ABC đều);
AD chung
BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.c.c) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).
Mà ba điểm B, D, C thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)
Tương tự ta có:
\(\widehat {AEB} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) hay\(BE \bot AC\). (2)
\(\widehat {AFC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) hay\(CF \bot AB\). (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.
Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Luyện tập 3 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.
Phương pháp giải
Chứng minh AB = AC = BC
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác ABC. Ta phải chứng minh tam giác ABC đều.
Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác.
Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;
\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
AD chung
\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC} (=90^0)\)
BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.g.c) nên AB = AC ( 2 cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng được, AC = BC
Xét tam giác ABC có AB = AC = BC nên là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 1 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:
a) AH và BC;
b) BH và CA;
c) CH và AB.
Phương pháp giải
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC có H là trực tâm nên:
a) \(AH \bot BC\);
b) \(BH \bot AC\);
c) \(CH \bot AC\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 2 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Phương pháp giải
Vẽ trực tâm H của tam giác ABC trong từng trường hợp và nhận xét.
(Trực tâm là giao điểm của ba đường cao của tam giác đó).
Lời giải chi tiết
a)
Nhận xét: H là một điểm nằm trong tam giác ABC.
b)
Nhận xét: H trùng với đỉnh A của tam giác ABC.
c)
Nhận xét: H nằm ngoài tam giác ABC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 3 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc CA thì DC vuông góc với AB.
Phương pháp giải
Ba đường cao của tam giác giao nhau tại một điểm.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABC có: D nằm trong tam giác và \(DA \bot BC;DB \bot CA\).
Suy ra: D là giao điểm của hai đường cao của tam giác ABC hay D là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy \(DC \bot AB\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 4 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, \(\widehat {HCA} = 25^\circ \). Tính \(\widehat {BAC}\)và \(\widehat {HBA}\).
Phương pháp giải
Tổng hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90°.
Lời giải chi tiết
Xét tam giác AFC có: \(\widehat {HCA} = 25^\circ \); \(\widehat {AFC} = 90^\circ \) (vì CF vuông góc với AB).
Nên: \(\widehat {FAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ – 25^\circ = 65^\circ \).
Xét tam giác AEB có: \(\widehat {BAC} = 65^\circ \); \(\widehat {AEB} = 90^\circ \)(vì BE vuông góc với AC).
Nên: \(\widehat {ABE} = \widehat {HBA} = 90^\circ – 65^\circ = 25^\circ \).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 5 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất:
+ Nếu \(a//b; a \bot c \) thì \(b \bot c\)
+ Nếu \(a \bot c; b \bot c\) thì \(a//b\)
Lời giải chi tiết
Vì AD // BC, mà K \(\in\) AD, H \(\in\) BC nên AK // CH
Vì \(CK \bot AD; BC // AD\) nên \(CK \bot BC\)
Mà \(AH \bot BC\)
\(\Rightarrow AH // CK\)
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Giải bài 6 trang 118 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;
b) Nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Phương pháp giải
a) Trong tam giác đều: đường trung tuyến đồng thời là đường cao và đường phân giác.
b) Chứng minh hai trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều: Chứng minh G và O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết
a)
Ta có:
G là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung tuyến);
H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao);
I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC;
O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC (Đường trung trực đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh tại trung điểm đó).
Mà tam giác ABC đều nên trong tam giác ABC đường trung tuyến đồng thời là đường cao và là đường phân giác.
Vậy bốn điểm G, H, I, O trùng nhau hay nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.
b)
Giả sử trong tam giác ABC có hai điểm trùng nhau là H (trực tâm của tam giác) và I (giao của ba đường phân giác).
Hay AD, BE, CF vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.
Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) ( vì AD là tia phân giác của góc BAC)
AD chung;
\(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}(=90^0)\) (vì \(AD \bot BC\));
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(g.c.g). Suy ra: AB = AC( 2 cạnh tương ứng). (1)
Tương tự ta có: \(\Delta AEB = \Delta CEB\)(c.g.c). Suy ra: AB = BC ( 2 cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.
Vậy tam giác ABC đều hay nếu tam giác ABC có hai điểm trong bốn điểm G, H, I, O trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 13
Để lại một bình luận