Giải bài 10 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Chương 7 Toán 7 Cánh diều
============
Câu hỏi khởi động trang 104 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.
Điểm G được xác định như thế nào?
Phương pháp giải
Dựa vào Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác để đưa ra cách xác định điểm G.
Lời giải chi tiết
Điểm G được xác định bằng cách: lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Hoạt động 1 trang 104 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát Hình 97 và cho biết các đầu mút của đoạn thẳng AM có đặc điểm gì.
Phương pháp giải
Quan sát Hình 97 và đưa ra đặc điểm của các đầu mút của đoạn thẳng AM.
Lời giải chi tiết
Các đầu mút của đoạn thẳng AM: đầu mút A là một đỉnh của tam giác, đầu mút M là trung điểm của cạnh BC trong tam giác ABC.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Luyện tập 1 trang 105 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Trong Hình 101, đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của những tam giác nào?
Phương pháp giải
Đường trung tuyến là đường nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.
Lời giải chi tiết
Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác: KAC (đỉnh K và trung điểm H của cạnh AC) và HBC (đỉnh H và trung điểm K của cạnh BC).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Hoạt động 2 trang 105 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 102, cho biết ba đường trung tuyến đó có cùng đi qua một điểm hay không.
Phương pháp giải
Quan sát Hình 102 để xem ba đường trung tuyến có cùng đi qua một điểm hay không.
Lời giải chi tiết
Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC có cùng đi qua một điểm là điểm G.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Luyện tập 2 trang 105 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Phương pháp giải
Cho tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G. Gọi I là trung điểm của cạnh QR. Chứng minh rằng ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Ta có G là giao điểm của hai đường trung tuyến QM và RK.
Mà I là trung điểm của QR nên PI cũng là đường trung tuyến trong tam giác PQR.
Vậy PI giao với QM và RK tại G
Do đó, G thuộc PI hay ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Hoạt động 3 trang 106 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Quan sát các đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC trong Hình 104. Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số
\(\dfrac{{AG}}{{AM}},\dfrac{{BG}}{{BN}},\dfrac{{CG}}{{CP}}\).
Phương pháp giải
Quan sát Hình 104 rồi đếm số ô vuông của mỗi cạnh tương ứng để đưa ra các tỉ số.
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\);
\(\dfrac{{BG}}{{BN}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\);
\(\dfrac{{CG}}{{CP}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 1 trang 107 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh: \(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).
Phương pháp giải
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lời giải chi tiết
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\)độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{GA}}{{AM}} = \dfrac{{GB}}{{BN}} = \dfrac{{GC}}{{CP}} = \dfrac{2}{3}\\ \to GA = \dfrac{2}{3}AM;GB = \dfrac{2}{3}BN;GC = \dfrac{2}{3}CP\end{array}\)
Vậy:
\(GA + GB + GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CP = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CP)\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 2 trang 107 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) \(\Delta GBC\)cân tại G.
Phương pháp giải
a) Chứng minh BM = CN bằng cách chứng minh tam giác ABM bằng tam giác ACN.
b) Chứng minh \(\Delta GBC\)cân tại G bằng cách chứng minh GB = GC.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB nên AM = AN.
Xét tam giác ABM và tam giác ACN có: AM = AN; \(\widehat A\)chung; AB = AC.
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACN\)(c.g.c) hay BM = CN.
b) G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Hay:
\(GB = \dfrac{2}{3}BM;GC = \dfrac{2}{3}CN\). Mà BM = CN nên GB = GC.
Vậy tam giác GBC cân tại G.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 3 trang 107 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:
a) GA = GD;
b) \(\Delta MBG = \Delta MCD\);
c) \(CD = 2GN\).
Phương pháp giải
a) Dựa vào tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác.
b) Chứng minh hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c.
c) Dựa vào kết quả phần b) để chứng minh \(CD = 2GN\).
Lời giải chi tiết
a) G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC.
Suy ra: \(AG = 2GM\). Mà trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên \(GD = 2GM\).
Vậy GA = GD (= 2GM).
b) Xét hai tam giác MBG và MCD có:
MB = MC (M là trung điểm cạnh BC)
\(\widehat {GMB} = \widehat {DMC}\)(đối đỉnh)
GM = GD.
Vậy \(\Delta MBG = \Delta MCD\)(c.g.c).
c) \(\Delta MBG = \Delta MCD\) nên BG = CD (2 cạnh tương ứng).
Mà G là trọng tâm tam giác ABC nên \(BG = 2GN\). Mà BG = CD nên \(CD = 2GN\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 4 trang 107 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:
a) \(\Delta AHB = \Delta AHM\);
b) \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).
Phương pháp giải
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHM\)theo trường hợp c.g.c.
b) Dựa vào kết quả chứng minh phần a) và tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác AHB và tam giác AHM có:
AH chung;
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHM}\)(H là hình chiếu của A lên BC nên \(AH \bot BC\));
HB = HM (H là trung điểm của BM).
Vậy \(\Delta AHB = \Delta AHM\)(c.g.c).
b) \(\Delta AHB = \Delta AHM\)nên AB = AM ( 2 cạnh tương ứng).
G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm tam giác ABC. Nên: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Mà AB = AM suy ra: \(AG = \dfrac{2}{3}AB\).
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Giải bài 5 trang 107 SGK Toán 7 Cánh diều tập 2 – CD
Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà ba tầng có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.
a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?
b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất.
Phương pháp giải
a) Xét 2 tam giác ABH và ACH bằng nhau, suy ra 2 góc H bằng nhau (\(=90^0\))
b) Tính khoảng cách vị trí O so với mặt đất bằng cách tính độ cao của ba tầng và khoảng cách OH.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC
Vì AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BH = HC = \(\dfrac{1}{2}\). BC
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:
AH chung
AB = AC
BH = HC
\(\Rightarrow \Delta ABH=\Delta ACH\) (c.c.c)
\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)
\(\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=180^0 : 2 = 90^0\)
Vậy AH có vuông góc với BC.
b) Vị trí O ở độ cao so với mặt đất bằng độ cao ba tầng cộng với khoảng cách OH.
Độ cao ba tầng của tòa nhà bằng \(3,3.3 = 9,9\)(m).
Mà O là trọng tâm tam giác ABC nên \(OH = \dfrac{1}{3}AH\). Vậy \(OH = \dfrac{1}{3}.1,2 = 0,4\)(m).
Vậy vị trí O ở độ cao: \(9,9 + 0,4 = 10,3\)m so với mặt đất.
Giải bài tập Toán 7 Cánh diều Chương 7 Bài 10
Trả lời