\({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\) là

\({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\) là

A. \(4\).

B. \(6.\)

C. \(3\).

D. \(5\).

Lời giải

Ta có \({2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + {x^2} – 25x + 150 < 0\)

\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} – 15x + 100}} – {2^{{x^2} + 10x – 50}} + 2{x^2} – 15x + 100 – \left( {{x^2} + 10x – 50} \right) < 0\).

Đặt \(a = 2{x^2} – 15x + 100\), \(b = {x^2} + 10x – 50\).

Khi đó bất phương trình trở thành: \({2^a} – {2^b} + a – b < 0\) \( \Leftrightarrow – {2^a} – a > – {2^b} – b\) \(\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = – {2^t} – t\) có \(f’\left( t \right) = – {2^t}\ln 2 – 1 < 0\) với \(\forall t \in \mathbb{R}\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Bất phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) > f\left( b \right) \Leftrightarrow a < b \Leftrightarrow 2{x^2} – 15x + 100 < {x^2} + 10x – 50\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – 25x + 150 < 0 \Leftrightarrow 10 < x < 15\) .

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {11;12;13;14} \right\}\).

Vậy bất phương trình có \(4\) nghiệm nguyên.

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.