Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) và \({\log _2}\frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 6 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3x + y\).

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) và \({\log _2}\frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 6 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3x + y\).

A. \(3\). B. \(\frac{7}{2}\). C. \(4\). D. \(\frac{5}{2}\).
Lời giải
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x,y \le 1\\x + y > 0\end{array} \right.\) ta có: \({\log _2}\frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + y} \right) – {\log _2}\left( {2 – xy} \right) + 2xy + 2x + 2y – 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + y} \right) = {\log _2}\left( {2 – xy} \right) + 2\left( {2 – xy} \right)\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) trên \(\left( {0;2} \right)\).
\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0,\forall t \in \left( {0;2} \right)\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Do đó từ \(\left( * \right)\) ta có \(x + y = 2 – xy \Leftrightarrow y\left( {1 + x} \right) = 2 – x \Leftrightarrow y = \frac{{2 – x}}{{1 + x}}\).
\(P = 3x + y = 3x + \frac{{2 – x}}{{1 + x}}\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3x + \frac{{2 – x}}{{1 + x}},\,\,x \in \left[ {0;1} \right]\).
\(g’\left( x \right) = 3 – \frac{3}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \frac{{3x\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\). Suy ra \(MaxP = \frac{7}{2}\) đạt được khi \(x = 1,y = \frac{1}{2}\).

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.