Giải bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.37 trang 66 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A( – 3;2),\,\,B(1;5)\) và \(C(3; – 1).\)

a)  Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác ấy.

b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)

c) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Tìm tọa độ của \(I.\)

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (4;3)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (6; – 3)\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) không thẳng hàng

\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 3 + 1 + 3}}{3} = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{{2 + 5 – 1}}{3} = 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,G\left( {\frac{1}{3};2} \right)\)

b)     Gọi \(H(x;y)\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

Ta có: \(\overrightarrow {BH}  = (x – 1;y – 5)\) và \(\overrightarrow {CH}  = (x – 3;y + 1)\)

Do \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)

Nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\\{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6\left( {x – 1} \right) – 3\left( {y – 5} \right) = 0}\\{4\left( {x – 3} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – y =  – 3}\\{4x + 3y = 9}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \(H(0;3).\)

c)      Gọi \(I(x;y)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) \( \Leftrightarrow \) \(( – x;3 – y) = 3\left( {\frac{1}{3} – x;2 – y} \right) = \left( {1 – 3x;6 – 3y} \right)\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – x = 1 – 3x}\\{3 – y = 6 – 3y}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)