Giải bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.35 trang 65 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;4)\) và \(C(9;2)\) là hai đỉnh của hình vuông \(ABCD.\) Tìm tọa độ các đỉnh \(B,\,\,D\) biết rằng tung độ của \(B\) là một số âm.

Phương pháp giải

–  Gọi \(B(x;y)\) và \(D(x’;y’)\). Điều kiện: \(y < 0\)

–  Tính tọa độ trung điểm \(I\) của cạnh \(AC\)

– Lập công thức tính tọa độ trung điểm \(I\) của cạnh \(BD\)

– Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(B(x;y)\) và \(D(x’;y’)\). Điều kiện: \(y < 0\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 9}}{2} = 5}\\{y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(I(5;3)\)

Ta có: \(I\) là trung điểm của

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + x’ = 10}\\{y + y’ = 6}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 – x’}\\{y = 6 – y’}\end{array}} \right.} \right.\)        (1)

Xét hình vuông \(ABCD\) có \(I\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow \) \(AC \bot BD\) tại trung điểm \(I\) của chúng.

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = ( – 4;1)\), \(\overrightarrow {IB}  = (x – 5;y – 3)\), \(\overrightarrow {IC}  = (4; – 1)\) và \(\overrightarrow {ID}  = (x’ – 5;y’ – 3)\)

Xét \(\Delta AID\) vuông tại \(I\) có:

\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 4\left( {x’ – 5} \right) + \left( {y’ – 3} \right) = 0}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + {{\left( {y’ – 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + {{\left( {4x’ – 17 – 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + 16{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{x’ – 5 =  \pm 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = 6}\\{y’ = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = 4}\\{y’ =  – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\(\) (thỏa mãn)