Giải bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.33 trang 65 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) không cân. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C;\) gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) tương ứng là trung điểm các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Phương pháp giải

–  Gọi \(H\) là trực tâm và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

–   Áp dụng định lý chiếu để tính tích vô hướng của các  vectơ sau \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} ,\) \(\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} \)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là trực tâm và \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

Ta có: \(ON \bot AC,\) \(OM \bot BC,\) \(OP \bot AB\) (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý chiếu ta có:

\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OC}  – \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC}  – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} \)     (1)

\(\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OA}  – \overrightarrow {OC} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA}  – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} \)       (2)

\(\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OA} } \right) = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB}  – \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} \)        (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB}  = 0\) (đpcm)

 

============

Thuộc chủ đề:Giải sách bài tập toán 10 – Kết nối