Giải bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(2;1)\) và \(B(4;3).\)

a) Tìm tọa độ của điểm \(C\) thuộc trục hoành sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Tính chu vi và diện tích của tam giác \(ABC.\)

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A.\)

Phương pháp giải

–  Tính các các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) xong tính tích vô hướng của chúng để tìm tọa độ điểm \(C.\)

–  Tính chu vi và diện tích tam giác \(ABC.\)

–  Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\) để tìm tọa độ điểm \(D.\)

Lời giải chi tiết

a)      Vì điểm \(C\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(C\) là: \(C(x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (x – 2; – 1)\)

Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2\left( {x – 2} \right) – 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2x – 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(x = 3\)

Vậy \(C(3;0).\)

Ta có: \(AB = 2\sqrt 2 ,\) \(AC = \sqrt 2 \) và \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 – 4} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 2\sqrt 2  + \sqrt 2  + \sqrt {10}  = 3\sqrt 2  + \sqrt {10} \)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2\) (đvdt)

b)     Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D(x;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = (x – 2;y – 1)\) và \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\)

Để tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – x – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)