Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Toán 10 Cánh Diều

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ – Toán 10 Cánh Diều

=======

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng của hai vectơ

Quy tắc ba điểm:
Với 3 điểm M, N, P ta có: \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \)
Quy tắc hình bình hành:
Nếu OABC là hình bình hành thì ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB} \)
– Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tuỳ ý:

• Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \)
• Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)
• Tính chất của vectơ-không: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a \)

Ví dụ: Cho hình Vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} \).
Giải
Do \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DB} \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = \sqrt 2 \)
Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \)
Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BD} } \right| = AC = \sqrt 2 \)

1.2. Hiệu của hai vectơ

Chú ý:
– Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng \(\overrightarrow 0 \).
– Nếu \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow a \) thì \(\overrightarrow a  – \overrightarrow b  = \overrightarrow a  + \left( { – \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow b  + \left( { – \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow c  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow c \)
– Với ba điểm O, M, N tuỷ ý, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {ON}  = \left( { – \overrightarrow {OM} } \right) + \overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OM} \)
– Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OM} \)
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD cóI, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)
Giải
Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:
\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI}  + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right)\\
= \overrightarrow 0
\end{array}\)

Bài tập minh họa

Câu 1:  Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)
Hướng dẫn giải

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.
\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} \)
Ta có: \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC} \)
Lại có: \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)
Vậy \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)
Câu 2:  Cho tam giác ABC có M là trung điểm AC, N là trung điểm BC và AB = a. Tính độ dài vecto \(\overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {NB} \).
Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \overrightarrow {NC}  =  – \overrightarrow {NB} \)
Do đó: \(\overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)
\( \Rightarrow \overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)
Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)
Vậy \(\;|\overrightarrow {CM}  – \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)

============

Thuộc chủ đề: Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ