Phương pháp Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải toán:
Để chứng minh một đẳng thức vectơ ta chú ý:
1) Sử dụng:
+ Quy tắc $3$ điểm: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} $ với mọi $A$, $B$, $C.$
+ Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $ với $ABCD$ là hình bình hành.
+ Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $ với $I$ là trung điểm của $AB.$
+ Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
+ Các tính chất của các phép toán.
2) Thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:
+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.
+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

===============

Bài toán 1: Cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .$
b) $\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} .$

LỜI GIẢI

a)
Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:
$VT = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $ $ = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} ) + (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} )$ $ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BD} $ $ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \vec 0$ $ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = VP.$
Nhận xét: Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi biến đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là $\overrightarrow {AB} $ nhưng vế phải có chứa $\overrightarrow {AD} $ nên ta viết $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} .$
Cách 2: Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} $ $(1)$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CD} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DB} $ $(2).$
Ta có $(2)$ luôn đúng vậy $(1)$ được chứng minh.
Cách 3: Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \vec 0.$
Suy ra: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {DA} – \overrightarrow {BC} .$
Do đó: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .$
b) Ta có: $VT = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {CD} $ $ = (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ) – (\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} )$ $ = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CB} – \overrightarrow {CB} $ $ = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {BD} = VP.$
Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} .$
b) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 0.$

LỜI GIẢI

a) Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ $ = (\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )$ $ = 3\overrightarrow {MG} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$ $ = 3\overrightarrow {MG} + \vec 0$ $ = 3\overrightarrow {MG} .$
b) Vì $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec 0.$
$3\overrightarrow {MG} = \vec 0$ hay $\overrightarrow {MG} = \vec 0$ do đó $M \equiv G.$
Suy ra tập hợp $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \vec O$ là $\{ G\} .$

---

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ có $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \vec 0.$
b) Với mọi điểm $M$ ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} .$

LỜI GIẢI

A/ Vì $D$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} .$
Suy ra $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ).$
Tương tự $\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )$, $\overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} ).$
Do đó: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} $ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} )$ $ = \frac{1}{2}\left[ {(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} ) + (\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} ) + (\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} )} \right]$ $ = \frac{1}{2}(\vec 0 + \vec 0 + \vec 0) = \vec 0.$
Cách khác: Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, khi đó ta có:
$\overrightarrow {AD} = – \frac{3}{2}\overrightarrow {GA} $, $\overrightarrow {BE} = – \frac{3}{2}\overrightarrow {GB} $, $\overrightarrow {CF} = – \frac{3}{2}\overrightarrow {GC} .$
Suy ra: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} $ $ = – \frac{3}{2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$ $ = – \frac{3}{2}.\vec 0 = \vec 0.b.$
b) Với mọi điểm $M$ ta có:
$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MF} .$
$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MD} .$
$\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {ME} .$
Suy ra $2(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} )$ $ = 2(\overrightarrow {MF} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} ).$
Vậy $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} $ $ = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} .$

---

Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ và $G$, $H$, $O$ lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} .$
b) $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} .$
c) $\overrightarrow {HA} – \overrightarrow {HB} – \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {OA} .$
d) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .$
e) $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} .$

LỜI GIẢI

a) Ta có: $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 1v$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn).
Suy ra $BD \bot AB.$
Mặc khác $CH \bot AB$ (vì $H$ là trực tâm).
Do vậy $BD//CH.$
Tương tự ta có $CD//BH.$
Từ đó suy ra $HBDC$ là hình bình hành.
Do đó $\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} .$
b) $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} $ $ = \overrightarrow {HA} + (\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )$ $ = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} .$
c) $\overrightarrow {HA} – \overrightarrow {HB} – \overrightarrow {HC} $ $ = \overrightarrow {HA} – (\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )$ $ = \overrightarrow {HA} – \overrightarrow {HD} $ $ = \overrightarrow {DA} = 2\overrightarrow {OA} .$
d) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} $ $ = (\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} ) + (\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} ) + (\overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HC} )$ $ = 3\overrightarrow {OH} + (\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} )$ $ = 3\overrightarrow {OH} + 2\overrightarrow {HO} $ $ = 3\overrightarrow {OH} – 2\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OH} .$
e) $\overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .$

---

Bài toán 5 : Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, $O$ là trung điểm của $EF.$ Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 .$
b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \mathop {\overrightarrow {MC} }\limits^. + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} .$

LỜI GIẢI

a) Ta có $VT = (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ) + (\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} )$ $ = 2\overrightarrow {OE} + 2\overrightarrow {OF} $ $ = 2(\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} )$ $ = \overrightarrow 0 = VP.$
b) Ta có: $VT = (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} )$ $ + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} )$ $ = 4\overrightarrow {MO} + (\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} )$ $ = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 $ $ = 4\overrightarrow {MO} = VP.$

---

Bài toán 6: Cho tam giác $ABC$ và tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}.$ Gọi $G$, $G_1$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}.$ Chứng minh rằng: $\overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {C{C_1}} = 3\widehat {G{G_1}}.$

LỜI GIẢI

Ta có $VT = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{A_1}} } \right)$ $ + \left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{B_1}} } \right)$ $ + \left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}{C_1}} } \right)$ $ = 3\overrightarrow {G{G_1}} + (A\overrightarrow G + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} )$ $ + \left( {\overrightarrow {{G_1}{A_1}} + \overrightarrow {{G_1}{B_1}} + \overrightarrow {{G_1}{C_1}} } \right)$ $ = 3\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 $ $ = 3\overrightarrow {G{G_1}} = VP.$

---

Bài toán 7: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA.$ Gọi $K$ là trung điểm của $MN.$
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .$
b) Gọi $D$ là trung điểm của $BC.$ Chứng minh rằng: $\overrightarrow {KD} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$

LỜI GIẢI

a) Ta có: $\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )$ (vì $K$ là trung điểm của $MN$) $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)$ $ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} .$
b) Ta có: $\overrightarrow {KD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AC} )$ $ = \overrightarrow {KA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ $ = – \overrightarrow {AK} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ $ = – \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ $ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .$

---

Bài toán 8: Cho hai điểm $A$ và $B$, $M$ là điểm trên đường thẳng $AB$ sao cho $n\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {MB} $. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kì, ta có: $\overrightarrow {OM} = \frac{n}{{m + n}}\overrightarrow {OA} + \frac{m}{{m + n}}\overrightarrow {OB} .$

LỜI GIẢI

Ta có $n\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {MB} .$
Suy ra $n(\overrightarrow {OM} – \overrightarrow {OA} ) = m(\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OM} ).$
Do đó $(m + n)\overrightarrow {OM} = n\overrightarrow {OA} + m\overrightarrow {OB} .$
Như vậy $\overrightarrow {OM} = \frac{n}{{m + n}}\overrightarrow {OA} + \frac{m}{{m + n}}\overrightarrow {OB} .$

---

Bài toán 9: Cho tam giác $ABC.$ Trên cạnh $AB$, $AC$ lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{{MA}}{{MB}} = a$, $\frac{{NA}}{{NC}} = b.$ Hai đường thẳng $CM$ và $BN$ cắt nhau tại $I.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {AI} = a\overrightarrow {IB} + b\overrightarrow {IC} .$

LỜI GIẢI

Dựng $Ax$ song song $BN$ cắt $CM$ tại $E.$
Dựng $Ay$ song song $CM$ cắt $BN$ tại $F.$
Khi đó ta có $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} .$
Mặc khác $\Delta MAE$ đồng dạng $\Delta MBI.$
Nên $\frac{{AE}}{{IB}} = \frac{{MA}}{{MB}} = a.$
Suy ra $\overrightarrow {AE} = a\overrightarrow {IB} .$
Tương tự $\Delta NAF$ đồng dạng $\Delta NCI$ nên $\overrightarrow {AF} = b\overrightarrow {CI} .$
Từ đó suy ra $\overrightarrow {AI} = a\overrightarrow {IB} + b\overrightarrow {IC} .$