Đề toán 2022 [2H3-3.3-4] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {4\,;\,1\,;\,2} \right)\) bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị của \(AM.AN\) bằng.

Đề toán 2022 [2H3-3.3-4] Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {4\,;\,1\,;\,2} \right)\) bán kính bằng 2. Gọi \(M,N\) là hai điểm lần lượt thuộc hai trục \(Ox,Oy\) sao cho đường thẳng \(MN\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OIMN\) có bán kính bằng \(\frac{7}{2}\). Gọi \(A\) là tiếp điểm của \(MN\) và \(\left( S \right)\), giá trị của \(AM.AN\) bằng.

A. \(6\sqrt 2 \). B. \(14\). C.\(8\). D. \(9\sqrt 2 \).

Lời giải

+) Đặt \(M\left( {a;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;b;0} \right)\).\(MN \subset \left( {Oxy} \right)\)

Nhận xét: \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( {Oxy} \right)\) (do \(d\left[ {I;\,\left( {Oxy} \right)} \right] = R = 2\)), mà  tiếp xúc \(\left( S \right)\).

\( \Rightarrow MN\) tiếp xúc \(\left( S \right)\) tại tiếp điểm của \(\left( S \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow A\left( {4;1;0} \right)\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {a – 4; – 1;0} \right)\\\overrightarrow {AN}  = \left( { – 4;b – 1;0} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a – 4}}{{ – 4}} = \frac{{ – 1}}{{b – 1}}\)\( \Rightarrow \left( {a – 4} \right).\left( {b – 1} \right) = 4\).

Khi đó \(OIMN\) có \(\Delta OMN\) vuông tại \(O\), (\(\left( {IMN} \right) \bot \left( {OMN} \right)\)) (do \(IA \subset \left( {IMN} \right),IA \bot \left( {IMN} \right)\)).

Bán kinh mặt cầu ngoại tiếp \(OIMN\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta IMN\) bằng \(\frac{7}{2}\).

Suy ra \({S_{IMN}} = \frac{1}{2}.2.MN = \frac{{IM.IN.MN}}{{4.\frac{7}{2}}}\)\( \Leftrightarrow IM.IN = 14 & \,\,\left( 1 \right)\).

Mà \(IM = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + 5} \).

\(IN = \sqrt {{4^2} + {{\left( {b – 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt {\frac{{16}}{{{{\left( {a – 4} \right)}^2}}} + 20} \).

Thay vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(\left[ {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + 5} \right].\left[ {\frac{{16}}{{{{\left( {a – 4} \right)}^2}}} + 20} \right] = 196\).\( \Leftrightarrow {\left( {a – 4} \right)^2} = 2\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2} + 1}  = \sqrt 3 \\AN = \sqrt {{{\left( {b – 1} \right)}^2} + 16}  = 2\sqrt 6 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow AM.AN = 6\sqrt 2 \)

===========

Đây là các câu VD-VDC trong đề Toán 2022.