(THPT Hồ Nghinh – Quảng Nam – 2022) Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0;1]\) sao cho \(f(1) = 1\) và \(f(x) \cdot f(1 – x) = {e^{{x^2} – x}},\forall x \in [0;1].\) Tính \(I = \int_0^1 {\frac{{\left( {2{x^3} – 3{x^2}} \right)f\prime (x)}}{{f(x)}}} dx.\)

A. \(I = – \frac{1}{{10}}.\)

B. \(I = \frac{2}{5}\).

C. \(I = – \frac{1}{{60}}\).

D. \(I = \frac{1}{{10}}\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có \(f(x) \cdot f(1 – x) = {e^{{x^2} – x}} \Leftrightarrow \ln f(x) + \ln f(1 – x) = {x^2} – x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x} \right)\ln f(x) + \left( {{x^2} – x} \right)\ln f(1 – x) = {\left( {{x^2} – x} \right)^2}\\ \Rightarrow \int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx + \int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(1 – x)dx = \int_0^1 {{{\left( {{x^2} – x} \right)}^2}} dx\\ \Leftrightarrow \int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx + \int_0^1 x (x – 1)\ln f(1 – x)dx = \int_0^1 {{{\left( {{x^2} – x} \right)}^2}} dx\end{array}\)

Đặt \(t = 1 – x \Leftrightarrow x = 1 – t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{dx = – dt}\\{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\{x = 1 \Rightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int_0^1 x (x – 1)\ln f(1 – x)dx = \int_1 ^\circ (1 – t)t\ln f(t)dt = \int_0^1 x (x – 1)\ln f(x)dx = \int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx\)\(\)

\( \Rightarrow 2\int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx = \int_0^1 {{{\left( {{x^2} – x} \right)}^2}} \;dx = \frac{1}{{30}} \Leftrightarrow \int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx = \frac{1}{{60}}\)

\(\begin{array}{l}I = \int_0^1 {\frac{{\left( {2{x^3} – 3{x^2}} \right)f\prime (x)}}{{f(x)}}} dx = \int_0^1 {\left( {2{x^3} – 3{x^2}} \right)} d\ln f(x)\\ = \left. {\left( {2{x^3} – 3{x^2}} \right)\ln f(x)} \right|_0^1 – 6\int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx = – 6\int_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)} \ln f(x)dx = \frac{{ – 1}}{{10}}\end{array}\)