(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f’\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), \(g’\left( x \right) = q{x^2} + nx + p\) với \(a,q \ne 0\) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) và \(y = g’\left( x \right)\) bằng \(10\) và \(f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)\). Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{N}\) và \(a,b\) nguyên tố cùng nhau). Tính \(a – b\).

A. 18.

B. 19.

C. 20.

D. 13.

Lời giải:

Chọn D

Phương trình \(f’\left( x \right) = g’\left( x \right)\) có ba nghiệm bội lẻ phân biệt là: \(0\,;1\,;2\).

\( \Rightarrow f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = kx\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\)

Với \(\left( {{H_1}} \right)\) giới hạn bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}y = f’\left( x \right)\\y = g’\left( x \right)\\x = 0;\,\,x = 2\end{array} \right.\), ta có: \({S_{\left( {{H_1}} \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow k\int\limits_0^2 {\left| {x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} = 10 \Leftrightarrow k = 20\)

Do đó: \(f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 20x\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 20x\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 20{x^3} – 60{x^2} + 40x\,\,\left( 1 \right)\).

Lấy tích phân hai vế của \(\left( 1 \right)\), ta được: \(\int {\left[ {f’\left( x \right) – g’\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {\left( {20{x^3} – 60{x^2} + 40x} \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) = 5{x^4} – 20{x^3} + 20{x^2} + C\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(x = 2\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được: \(f\left( 2 \right) – g\left( 2 \right) = C \Rightarrow C = 0\).

Do đó: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 5{x^4} – 20{x^3} + 20{x^2}\).

Xét: \(f\left( x \right) – g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} – 20{x^3} + 20{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Với \(\left( {{H_2}} \right)\) giới hạn bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}y = f\left( x \right) – g\left( x \right)\\y = 0\\x = 0;\,\,x = 2\end{array} \right.\), ta có: \({S_{\left( {{H_2}} \right)}} = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \frac{{16}}{3}\).

Do đó: \(a = 16,\,\,b = 3\). Vậy \(a – b = 13\).