(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho ba số thực \(x,y,z\) không âm thoả mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Gọi \(M,N\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2}\). Đặt \(T = 2M + 6N\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(T \in \left( {1;2} \right)\).

B. \(T \in \left( {2;3} \right)\).

C. \(T \in \left( {3;4} \right)\).

D. \(T \in \left( {4;5} \right)\).

Lời giải:

Chọn A

Đặt \(a = {2^x},b = {4^y},c = {8^z}\). Ta có: \(a + b + c = 4\).

Vì \(x,y,z\) không âm và \(a + b + c = 4\) nên \(a,b,c\) thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).

\(S = \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = \frac{{x + 2y + 3z}}{6} = \frac{{{{\log }_2}(abc)}}{6}\)

Ta có: \(abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = \frac{{64}}{{27}}\)\( \Rightarrow S \le \frac{{{{\log }_2}\frac{{64}}{{27}}}}{6} = \frac{{{{\log }_2}\frac{4}{3}}}{2}\).

\(\left( {a – 1} \right)\left( {b – 1} \right) \ge 0 \Rightarrow ab \ge a + b – 1 \Rightarrow abc \ge \left( {3 – c} \right)c\).

Xét hàm số \(f(c) = – {c^2} + 3c,\,c \in \left[ {1;2} \right]\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(abc \ge f(c) \ge 2\). Khi đó \(S = \frac{{{{\log }_2}(abc)}}{6} \ge \frac{{{{\log }_2}2}}{6} = \frac{1}{6}\).

Do đó: \(T = 2M + 6N = {\log _2}\frac{4}{3} + 1 = {\log _2}\frac{8}{3} \approx 1,41 \in \left( {1;\,2} \right)\).