(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\left( {{2^x} + {3^x} – 8x + 3} \right)\sqrt {{{\left( 3 \right)}^{{2^x}}} – m} = 0\) (với \(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { – 2021\,;\,2021} \right]\) để tập hợp \(S\) có hai phần tử ?

A. \(2095\).

B. \(2092\).

C. \(2093\).

D. \(2094\).

Lời giải:

Chọn D

Xét phương trình: \({2^x} + {3^x} – 8x + 3 = 0\).

Đặt \(f\left( x \right) = {2^x} + {3^x} – 8x + 3\).

\(f’\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3 – 8 \Rightarrow f”\left( x \right) = {2^x}{\ln ^2}2 + {3^x}{\ln ^2}3 > 0\,\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất hai nghiệm.

Ta thấy \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Xét phương trình: \(\left( {{2^x} + {3^x} – 8x + 3} \right)\sqrt {{{\left( 3 \right)}^{{2^x}}} – m} = 0\) \(\left( 1 \right)\).

Nếu \(m \le 0 \Rightarrow {\left( 3 \right)^{{2^x}}} – m > 0\,,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \left( 1 \right)\) có tập nghiệm \(S = \left\{ {1\,;\,2} \right\}\).

Nếu \(m > 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( 3 \right)^{{2^x}}} – m \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right)\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Khi đó \(S\) có hai phần từ khi và chỉ khi \(1 \le {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right) < 2 \Leftrightarrow 9 \le m < 81\).

Vậy \(m \in \left[ { – 2021\,;\,0} \right] \cup \left[ {9\,;\,80} \right]\) có \(2094\) số.