(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình \(\log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) – \log _{\sqrt 2 }^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) – 2{\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {f\left( x \right) + 1} + 6 = 0\) là

A. \(7\).

B. \(5\).

C. \(6\).

D. \(8\).

Lời giải:

Chọn C

Xét phương trình \(\log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) – \log _{\sqrt 2 }^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) – 2{\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {f\left( x \right) + 1} + 6 = 0\) (1).

Điều kiện: \(f\left( x \right) > – 1\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \log _2^3\left( {f\left( x \right) + 1} \right) – 4\log _2^2\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 6 = 0\).

Đặt \(t = {\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right)\), ta có \({t^3} – 4{t^2} + t + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 3\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = – 1\\{\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = 3\\{\log _2}\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = – \frac{1}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f(x) = 7\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\)

Dễ thấy số nghiệm phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = – \frac{1}{2}\). Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Tương tự phương trình \(\left( 3 \right)\) có nghiệm duy nhất và phương trình \(\left( 4 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

Hiển nhiên các nghiệm này phân biệt. Do dó phương trình \(\left( 1 \right)\) có 6 nghiệm phân biệt.