(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\). Biết rằng \(f’\left( 2 \right) + f’\left( 3 \right) + … + f’\left( {2019} \right) + f’\left( {2020} \right) = \frac{a}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Giá trị của \(2a – b\) bằng

A. \(2\).

B. \(4\).

C. \( – 2\).

D. \( – 4\).

Lời giải:

Chọn C

Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{x\left( {x – 1} \right)(x + 1)}} = \frac{1}{{x\left( {x – 1} \right)}} – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}f’\left( 2 \right) + f’\left( 3 \right) + … + f’\left( {2019} \right) + f’\left( {2020} \right)\\ = \frac{1}{{1.2}} – \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} – \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{2018.2019}} – \frac{1}{{2019.2020}} + \frac{1}{{2019.2020}} – \frac{1}{{2020.2021}}\end{array}\)

\( = \frac{1}{2} – \frac{1}{{2020.2021}} = \frac{{1010.2021 – 1}}{{2020.2021}}\)

Nên \(a = 1010.2021 – 1,b = 2020.2021 \Rightarrow 2a – b = – 2\).