(Sở Thái Nguyên 2022) Cho bất phương trình \({\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _{2022}}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \ge {\log _m}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng \(\left( {1;2022} \right)\) của tham số \(m\) sao cho bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {5; + \infty } \right)\)?

A. 2022.

B. \(2021\).

C. \(2012\).

D. \(2010\).

Lời giải:

Chọn C

Nhận thấy: Với \(x \ge 5\) thì \(\sqrt {{x^2} – 1} < \sqrt {{x^2}} = x\)\( \Rightarrow x – \sqrt {{x^2} – 1} > 0\) và \(x + \sqrt {{x^2} – 1} > 0\).

Ta có: \({\log _2}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _{2022}}\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \ge {\log _m}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right).{\log _{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \ge {\log _m}2.{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \ge {\log _m}2\) \(\left( 1 \right)\) (vì \({\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) > 0\), \(\forall x \ge 5\)).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\log _{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)\) trên \(\left[ {5; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 1} .\ln 2022}}\)\( \Rightarrow f’\left( x \right) > 0\), \(\forall x \ge 5\).

BBT:

Từ BBT ta thấybất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {5; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _m}2 \le f\left( 5 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_2}m}} \le {\log _{2022}}\left( {5 + \sqrt {24} } \right) \Leftrightarrow {\log _2}m \ge {\log _{5 + \sqrt {24} }}2022 \Leftrightarrow m \ge {2^{{{\log }_{5 + \sqrt {24} }}2022}}\)

(do \(m > 1\)) \( \Leftrightarrow m \ge {2^{{{\log }_{5 + \sqrt {24} }}2022}} \approx 9,9\).

Do \(m\) nguyên thuộc khoảng \(\left( {1;2022} \right)\) nên \(m \in \left\{ {10;11;…;2021} \right\}\).

Vậy có \(2012\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.