(Sở Lạng Sơn 2022) Biết đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) qua điểm \(I\left( {1\,;1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(f\left( {2 + {{\log }_a}\frac{1}{{2022}}} \right)\) bằng

A. \( – 2022\).

B. 2021.

C. 2022.

D. \( – 2020\).

Lời giải:

Chọn D

Với \(a > 0,a \ne 1\), ta có \(2 + {\log _a}\frac{1}{{2022}} = 2 – {\log _a}2022\).

Xét điểm \(N\left( {2 – {{\log }_a}2022;f\left( {2 – {{\log }_a}2022} \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)

Gọi \(M\) là điểm đối xứng với điểm \(N\) qua \(I\left( {1\,;1} \right)\) thì \(M\left( {{{\log }_a}2022;2 – f\left( {2 – {{\log }_a}2022} \right)} \right)\)

Theo đề, \(M\left( {{{\log }_a}2022;2 – f\left( {2 – {{\log }_a}2022} \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nên

\(2 – f\left( {2 – \log _a^{}2022} \right) = {a^{{{\log }_a}2022}} \Leftrightarrow 2 – f\left( {2 – \log _a^{}2022} \right) = 2022 \Leftrightarrow f\left( {2 – \log _a^{}2022} \right) = – 2020\).

Vậy \(f\left( {2 + {{\log }_a}\frac{1}{{2022}}} \right) = – 2020\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{9 – m}}{2} \le 2\\\frac{{11 – m}}{2} > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le m < 7 \Rightarrow m \in \left\{ {5\,;\,6} \right\}\).