(Sở Bắc Giang 2022) Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \(2{\log _3}(x + y + 1) = {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 2{y^2} + 1} \right)\) ?

A. 4.

B.2.

C. 3.

D. 1.

Lời giải:

Đặt \(X = x + 1\). Khi đó, ta có \(2{\log _3}(X + y) = {\log _2}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right) \Leftrightarrow {\log _3}(X + y) = {\log _4}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right)\)

Đặt \({\log _3}(X + y) = {\log _4}\left( {{X^2} + 2{y^2}} \right) = t \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X + y = {3^t}}\\{{X^2} + 2{y^2} = {4^t}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {4^t} = {X^2} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{2}}} \ge \frac{{{{(X + y)}^2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{{{3^{2t}}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{2}{3} \cdot {9^t} \Rightarrow 3 \cdot {4^t} \ge {2.9^t} \Rightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} \ge \frac{2}{3} \Rightarrow t \le \frac{1}{2}.\)\(\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < X + y \le \sqrt 3 }\\{0 < {X^2} + 2{y^2} \le 2}\end{array}} \right.\)

Ta có: \({X^2} + 2{y^2} \le 2 \Rightarrow 0 \le {X^2} \le 2 \Rightarrow – \sqrt 2 \le X \le \sqrt 2 \Rightarrow X \in \{ – 1;0;1\} \) do \(X\) nguyên.

+ Với \(X = 0\), ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}y = {3^t}\\2{y^2} = {4^t}\end{array}\end{array} \Rightarrow {{2.9}^t} = {4^t} \Rightarrow {{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^t} = 2 \Leftrightarrow t = {{\log }_{\frac{4}{9}}}2 \Rightarrow y = {3^{{{\log }_{\frac{4}{9}}}2}}.} \right.\)\(\)

+ Với \(X = 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} – 1}\\{2{y^2} = {4^t} – 1}\end{array} \Rightarrow 2.{{\left( {{3^t} – 1} \right)}^2} = {4^t} – 1.\left( {^*} \right)} \right.\)

Ta thấy \(t = 0\) là nghiệm của \((*) \Rightarrow \) Phương trình đã cho có nghiệm \(y = 0\).

+ Với \(X = – 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} + 1}\\{2{y^2} = {4^t} – 1}\end{array}} \right.\).

Vì \(y = {3^t} + 1 \Rightarrow y > 1\)

Mặt khác, ta có:

\({X^2} + 2{y^2} \le 2 \Rightarrow 0 \le 2{y^2} \le 2 \Rightarrow 2{y^2} \le 2 \Rightarrow {y^2} \le 1 \Rightarrow |y| \le 1\)\(\)

Do vậy \(y > 1\) là không thỏa mãn nên \(X = – 1\) không thỏa mãn Vậy \(X \in \{ 0;1\} \) hay \(x \in \{ – 1;0\} \) thì tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \(2{\log _3}(x + y + 1) = {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 2{y^2} + 1} \right)\).